分类数学研究下的文章 - 科学空间|Scientific Spaces

7 Aug

梅森素数的探索之旅

By 苏剑林 | 2009-08-07 | 19671位读者 | 引用

2009年5月22日，对于很多人来说并不是什么特别的日志，不过数学界这边又传来了一个“喜讯”：我们已经找到了第47个梅森素数，即$2^{42643801}-1$是一个素数！新的素数已于6月12日通过法国的Tony Reix的验证，这是目前的第二大素数，有12,837,064位数字！这是通过参加一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目而发现的。让我们来共同回顾这一素数之旅！

素数/梅森素数

素数，现在课本上都已经成为“质数”了，不过目前很多数学家、爱好者都还是将其称为素数（也许这个名字好听）。这是指一些不可分解成两个比它本身小的两个整数相乘的形式的数，如2、3、5、7等。除了2外，所有的素数都是奇数。

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6 Aug

逻辑推理：拿了多少分(PuzzleUp)

By 苏剑林 | 2009-08-06 | 15518位读者 | 引用

A,B,C,D四人做10道回答是否的问题，答对了得一分，四人的答案和A,B,C的得分如图所示。问D的得分是多少？（附加说明：这里的答错不扣分）

事实上，这道题目本身已经把难度降到非常低了，因此推荐大家都去想一下。
如果你实在没有心思去想，可以直接看答案（不推荐）。

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5 Aug

证明下列级数发散或者收敛：
(1) $\sum_{x = 1}^\infty \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ...$
(2) $\sum_{x = 1}^\infty \frac{1}{x^2} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ...$

一眼看上去，由于$1/x,1/{x^2}$都会趋向零，所以它们应该是收敛的。真的是这样吗？

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2 Aug

一道级数求和证明题(非数学归纳法)

By 苏剑林 | 2009-08-02 | 15657位读者 | 引用

今天在数学研发论坛看到了一道题目：

$$\sum_{j=0}^{j=n} (jx^j)={nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}/{(x-1)^2}$$

这道题实际是求$x+2x^2+3x^3+...+nx^n$的求和公式而已。

本来呢用数学归纳法是十分简单的（数学归纳法对于证明简单，对于推导就不行了），但是题目说不能用数学归纳法。只好用以下方法了。

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1 Aug

椭圆的周长与面积

By 苏剑林 | 2009-08-01 | 35572位读者 | 引用

椭圆面积和周长的求法，看上去没有什么区别。不过实际上它们的难度有着天壤之别。

椭圆所包围的面积是$S=\pi ab$，这里的a和b是半长轴和半短轴。仅根据椭圆标准方程就可以推导出来。

目前还没有找到椭圆周长的一般公式，要想精确求解，只有代入以下无穷级数：
$$C=2\pi a [1 - (1/2)^2 (\frac{c}{a})^2 - ({1\cdot 3}/{2\cdot 4})^2{c^4}/{3a^4} - ({1\cdot 3\cdot 5}/{2\cdot 4\cdot 6})^2{c^6}/{5a^6}-...]$$
可以写成：
$$C = 2\pi a \sum_{n=0}^{\infty} { - [\prod_{m=1}^n ({2m-1}/{2m})]^2 {c^{2n}}/{a^{2n}(2n - 1)}}$$

距离c 叫做椭圆的线性离心率，等于从中心到任一焦点的距离

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31 Jul

关于无理数及其和的证明

By 苏剑林 | 2009-07-31 | 19974位读者 | 引用

在中学，有理数的定义为整数和分数的集合，统一来说就是能够写成两个整数之比的数。那相对地，无理数自然就是不能写成两个整数之比的数了，也就是无限不循环小数，比如$\pi,\sqrt{2}$等等。历史上无理数的发现带来了第一次数学危机，并生下了一颗“金蛋”，不过发现者却因此丢掉了生命。让我们永远铭记——希帕索斯(Hippasus)。