胡闹的胜利:将算子引入级数求和
By 苏剑林 | 2015-05-26 | 23536位读者 | 引用在文章《有趣的求极限题:随心所欲的放缩》中,读者“最近倒了”提出了一个新颖的解法,然而这位读者写得并非特别清晰,更重要的是里边的某些技巧似乎是笔者以前没有见过的,于是自行分析了一番,给出了以下解释。
胡闹的结果
假如我们要求级数和
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A_k}{n^k}$$
这里$A_0=1$。一般而言,我们用下标来标注不同的数,如上式的$A_k,\,k=0,1,2,\dots$,可是有的人偏不喜欢,他们更喜欢用上标来表示数列中的各项,他们把上面的级数写成
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A^k}{n^k}$$
可能读者就会反对了:这不是胡闹吗,这不是让它跟分母的n的k次幂混淆了吗?可是那人干脆更胡闹一些,把级数写成
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A^k}{n^k}=\left(1+\frac{A}{n}\right)^n$$
看清楚了吧?他干脆把$A$当作一个数来处理了!太胡闹了,$A$是个什么东西?估计这样的孩子要被老师赶出课堂的了。
可是换个角度想想,似乎未尝不可。
柯西命题:盯着它到显然成立为止!
By 苏剑林 | 2015-04-19 | 43136位读者 | 引用数学分析中数列极限部分,有一个很基本的“柯西命题”:
如果$\lim_{n\to\infty} x_n=a$,则
$$\lim_{n\to\infty}\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=a$$
本文所要谈的便是这个命题,当然还包括类似的一些题目。
柯西命题的证明
柯西命题的证明并不难,只需要根据极限收敛的定义,由于$\lim_{n\to\infty} x_n=a$,所以任意给定$\varepsilon > 0$,存在足够大的$N$,使得对于任意的$n > N$,都有
$$\left|x_n - a\right| < \varepsilon/2\quad(\forall n > N)$$
有趣的求极限题:随心所欲的放缩
By 苏剑林 | 2015-03-28 | 44235位读者 | 引用昨天一好友问我以下题目,求证:
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1^n + 2^n +\dots + n^n}{n^n}=\frac{e}{e-1}$$
将解答过程简单记录一下。
求解
首先可以注意到,当$n$充分大时,
$$\frac{1^n + 2^n +\dots + n^n}{n^n}=\left(\frac{1}{n}\right)^n+\left(\frac{2}{n}\right)^n+\dots+\left(\frac{n}{n}\right)^n$$
的主要项都集中在最后面那几项,因此,可以把它倒过来计算
$$\begin{aligned}\frac{1^n + 2^n +\dots + n^n}{n^n}=&\left(\frac{1}{n}\right)^n+\left(\frac{2}{n}\right)^n+\dots+\left(\frac{n}{n}\right)^n\\
=&\left(\frac{n}{n}\right)^n+\dots+\left(\frac{2}{n}\right)^n+\left(\frac{1}{n}\right)^n\end{aligned}$$
微积分学习(二):导数
By 苏剑林 | 2009-09-12 | 19963位读者 | 引用自从上次写了关于微积分中的极限学习后,就很长的时间没有与大家探讨微积分的学习了(估计有20多天了吧)。启事,我自己也是从今年的9月下旬才开始系统地学习微积分的,到现在也就一个月的时间吧。学习的内容有:集合、函数、极限、导数、微分、积分。不过都是一元微积分,多元的微积分正在紧张地进修中......
现在不妨和大家探讨一下关于微积分中的最基本内容——“导数”的学习。
其实,用最简单的说法,如果存在函数$f(x)$,那么它的导数(一阶导数)为
$$\lim_{\Delta x->0} f'(x)=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
关于a,b的极限证明题目
By 苏剑林 | 2009-08-24 | 26196位读者 | 引用微积分学习(一):极限
By 苏剑林 | 2009-08-16 | 26493位读者 | 引用本文不是微积分教程,而是发表自己学习中的一些看法,以及与同好们讨论相关问题。
拿起任何一本“微积分”教程,都可以看见那专业而严格的数学语言,因此很多人望而生畏。的确,由于牛顿和莱布尼茨创立的微积分是不严格的,因此引发了第二次数学危机。经过法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯的努力,使得微积分有了前所未有的严密化,克服了第二次数学危机。加之后来的第三次数学危机,数学就更加严密了。
但是对于初学者,严密化的微积分令人十分费解。因此,我们不妨按照微积分的创立顺序,即“不严密——严密”的顺序来学习。这样不仅能够让我们更高效率地学习,而且增加学习数学的兴趣。
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