小数的二进制表示

也许中学老师会告诉5、10、20等等的十进制数字怎么化成二进制数字，但又没有老师告诉你怎么将十进制的0.1变成二进制的小数呢？

我们将一个十进制整数化为二进制是这样操作的：在十进制的计算法则中，将十进制数除以2，得到商和余数；把商除以2，得到商和余数；...重复下去，直到商为0。然后把每次得到的余数按倒序排列，就得到了二进制数字。比如6：

$$\begin{aligned}6\div 2=3...0 \\ 3\div 2=1...1 \\ 1\div 2=0...1\end{aligned}$$

倒过来就是110。这就是二进制中的6了。

为什么要这样操作呢？这要从二进制变成十进制的方法谈起。一个二进制数$abcde$变成十进制数的方法是$e+2d+2^2 c+2^3 b+2^4 a$，这从二进制的计数规则就可以得出：其实就是说a,b,c,d,e分别代表着$10^4 , 10^3 , 10^2 ,10,10^0$位，但是二进制的10就是十进制的2，所以就得出上面的公式。从二进制变十进制的方法就不难得出十进制的法则了，不断除以2，计算余数就分别可以得出a,b,c,d,e了。

整数还是挺好办的，那么小数怎么办呢？比如$0.1=\frac{1}{10}$，而$(10)_{10}=(1010)_2$，所以有
$$(\frac{1}{10})_{10}=(\frac{1}{1010})_2$$

如果你熟悉二进制的计算，你直接可以在二进制的法则内算$\frac{1}{1010}$，就得出0.1的二进制表示啦。不过这是一种比较麻烦的方法，关键是我们大多数人都不熟悉二进制的计算。那怎么办呢？我们可以想一种迂回的方法。虽然在我们不懂二进制的具体计算细则，但是我们不难发现，在二进制里除以10还是很容易的，就跟十进制一样，同样是向左移动小数点而已。所以我们不妨先将十进制的小数不断乘以2，然后取整数部分，化为二进制整数，然后再不断除以二进制的10。

比如0.1
$$\begin{aligned}0.1 \times 2^9=51.2 \\ (51)_{10}=(110011)_2 \\ 110011 \div 10^9 =0.000110011\end{aligned}$$

也就是说十进制0.1表示为二进制大约为0.000110011。不难发现，这种操作是“永无止境”的，即十进制的有限小数0.1在二进制中是无限循环小数！这真是一个有趣的事实！

上述小数转换二进制的方法计算量未免还是有点大了。所以经过简化可以变成一个计算量比较小的“乘2取整”法：

对十进制小数乘2得到的整数部分和小数部分，整数部分既是相应的二进制数码,再用2乘小数部分（之前乘后得到新的小数部分），又得到整数和小数部分。如此不断重复，直到小数部分为0或达到精度要求为止。第一次所得到为最高位,最后一次得到为最低位。

比如0.1
$0.1 \times 2=0.2$，取整为0，小数为0.2；
$0.2 \times 2=0.4$，取整为0，小数为0.4；
$0.4 \times 2=0.8$，取整为0，小数为0.8；
$0.8 \times 2=1.6$，取整为1，小数为0.6；
$0.6 \times 2=1.2$，取整为1，小数为0.2；
...
开始陷入循环了。

不难得到二进制表示为0.000110011...，循环节为0011。其实，大多数十进制有限小数变成二进制的时候都是无限循环的，除了那些$\frac{1}{2^n}$类型的小数。当然，不管怎么变，在十进制的无理数也不会变成二进制的有理数，反之亦然。

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