17 Sep

让人惊叹的Johnson-Lindenstrauss引理:理论篇

今天我们来学习Johnson-Lindenstrauss引理,由于名字比较长,下面都简称“JL引理”。

个人认为,JL引理是每一个计算机科学的同学都必须了解的神奇结论之一,它是一个关于降维的著名的结果,它也是高维空间中众多反直觉的“维度灾难”现象的经典例子之一。可以说,JL引理是机器学习中各种降维、Hash等技术的理论基础,此外,在现代机器学习中,JL引理也为我们理解、调试模型维度等相关参数提供了重要的理论支撑。

对数的维度

JL引理,可以非常通俗地表达为:

通俗版JL引理: 塞下$N$个向量,只需要$\mathscr{O}(\log N)$维空间。

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17 Aug

浅谈Transformer的初始化、参数化与标准化

前几天在训练一个新的Transformer模型的时候,发现怎么训都不收敛了。经过一番debug,发现是在做Self Attention的时候$\boldsymbol{Q}\boldsymbol{K}^{\top}$之后忘记除以$\sqrt{d}$了,于是重新温习了一下为什么除以$\sqrt{d}$如此重要的原因。当然,Google的T5确实是没有除以$\sqrt{d}$的,但它依然能够正常收敛,那是因为它在初始化策略上做了些调整,所以这个事情还跟初始化有关。

藉着这个机会,本文跟大家一起梳理一下模型的初始化、参数化和标准化等内容,相关讨论将主要以Transformer为心中展开。

采样分布

初始化自然是随机采样的的,所以这里先介绍一下常用的采样分布。一般情况下,我们都是从指定均值和方差的随机分布中进行采样来初始化。其中常用的随机分布有三个:正态分布(Normal)、均匀分布(Uniform)和截尾正态分布(Truncated Normal)。

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22 Jul

概率视角下的线性模型:逻辑回归有解析解吗?

我们知道,线性回归是比较简单的问题,它存在解析解,而它的变体逻辑回归(Logistic Regression)却没有解析解,这不能不说是一个遗憾。因为逻辑回归虽然也叫“回归”,但它实际上是用于分类问题的,而对于很多读者来说分类比回归更加常见。准确来说,我们说逻辑回归没有解析解,说的是“最大似然估计下逻辑回归没有解析解”。那么,这是否意味着,如果我们不用最大似然估计,是否能找到一个可用的解析解呢?

逻辑回归示意图

逻辑回归示意图

本文将会从非最大似然的角度,推导逻辑回归的一个解析解,简单的实验表明它效果不逊色于梯度下降求出来的最大似然解。此外,这个解析解还易于推广到单层Softmax多分类模型。

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8 Jul

两个多元正态分布的KL散度、巴氏距离和W距离

正态分布是最常见的连续型概率分布之一。它是给定均值和协方差后的最大熵分布(参考《“熵”不起:从熵、最大熵原理到最大熵模型(二)》),也可以看作任意连续型分布的二阶近似,它的地位就相当于一般函数的线性近似。从这个角度来看,正态分布算得上是最简单的连续型分布了。也正因为简单,所以对于很多估计量来说,它都能写出解析解来。

本文主要来计算两个多元正态分布的几种度量,包括KL散度、巴氏距离和W距离,它们都有显式解析解。

正态分布

这里简单回顾一下正态分布的一些基础知识。注意,仅仅是回顾,这还不足以作为正态分布的入门教程。

概率密度

正态分布,也即高斯分布,是定义在$\mathbb{R}^n$上的连续型概率分布,其概率密度函数为
\begin{equation}p(\boldsymbol{x})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n \det(\boldsymbol{\Sigma})}}\exp\left\{-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{\top}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})\right\}\end{equation}

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17 Jun

对比学习可以使用梯度累积吗?

在之前的文章《用时间换取效果:Keras梯度累积优化器》中,我们介绍过“梯度累积”,它是在有限显存下实现大batch_size效果的一种技巧。一般来说,梯度累积适用的是loss是独立同分布的场景,换言之每个样本单独计算loss,然后总loss是所有单个loss的平均或求和。然而,并不是所有任务都满足这个条件的,比如最近比较热门的对比学习,每个样本的loss还跟其他样本有关。

那么,在对比学习场景,我们还可以使用梯度累积来达到大batch_size的效果吗?本文就来分析这个问题。

简介

一般情况下,对比学习的loss可以写为
\begin{equation}\mathcal{L}=-\sum_{i,j=1}^b t_{i,j}\log p_{i,j} = -\sum_{i,j=1}^b t_{i,j}\log \frac{e^{s_{i,j}}}{\sum\limits_j e^{s_{i,j}}}=-\sum_{i,j=1}^b t_{i,j}s_{i,j} + \sum_{i=1}^b \log\sum_{j=1}^b e^{s_{i,j}}\label{eq:loss}\end{equation}
这里的$b$是batch_size;$t_{i,j}$是事先给定的标签,满足$t_{i,j}=t_{j,i}$,它是一个one hot矩阵,每一列只有一个1,其余都为0;而$s_{i,j}$是样本$i$和样本$j$的相似度,满足$s_{i,j}=s_{j,i}$,一般情况下还有个温度参数,这里假设温度参数已经整合到$s_{i,j}$中,从而简化记号。模型参数存在于$s_{i,j}$中,假设为$\theta$。

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5 Jun

这篇文章我们来讨论一个比较实用的线性代数问题:

给定两个$d$维单位(列)向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$,求一个正交矩阵$\boldsymbol{T}$,使得$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{T}\boldsymbol{a}$。

由于两个向量模长相同,所以很显然这样的正交矩阵必然存在,那么,我们怎么把它找出来呢?

二维

不难想象,这本质上就是$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$构成的二维子平面下的向量变换(比如旋转或者镜面反射)问题,所以我们先考虑$d=2$的情形。

正交分解示意图

正交分解示意图

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2 Jun

我们可以无损放大一个Transformer模型吗(一)

看了标题,可能读者会有疑惑,大家不都想着将大模型缩小吗?怎么你想着将小模型放大了?其实背景是这样的:通常来说更大的模型加更多的数据确实能起得更好的效果,然而算力有限的情况下,从零预训练一个大的模型时间成本太大了,如果还要调试几次参数,那么可能几个月就过去了。

这时候“穷人思维”就冒出来了(土豪可以无视):能否先训练一个同样层数的小模型,然后放大后继续训练?这样一来,预训练后的小模型权重经过放大后,就是大模型一个起点很高的初始化权重,那么大模型阶段的训练步数就可以减少了,从而缩短整体的训练时间。

那么,小模型可以无损地放大为一个大模型吗?本文就来从理论上分析这个问题。

含义

有的读者可能想到:这肯定可以呀,大模型的拟合能力肯定大于小模型呀。的确,从拟合能力角度来看,这件事肯定是可以办到的,但这还不是本文关心的“无损放大”的全部。

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10 May

在之前的文章《Transformer升级之路:2、博采众长的旋转式位置编码》中我们提出了旋转式位置编码RoPE以及对应的Transformer模型RoFormer。由于笔者主要研究的领域还是NLP,所以本来这个事情对于笔者来说已经完了。但是最近一段时间,Transformer模型在视觉领域也大火,各种Vision Transformer(ViT)层出不穷,于是就有了问题:二维情形的RoPE应该是怎样的呢?

咋看上去,这个似乎应该只是一维情形的简单推广,但其中涉及到的推导和理解却远比我们想象中复杂,本文就对此做一个分析,从而深化我们对RoPE的理解。

二维RoPE

什么是二维位置?对应的二维RoPE又是怎样的?它的难度在哪里?在这一节中,我们先简单介绍二维位置,然后直接给出二维RoPE的结果和推导思路,在随后的几节中,我们再详细给出推导过程。

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