路径积分系列：1.我的毕业论文

之前承诺过会把毕业论文共享出来，让大家批评指正，却一直偷懒没动。事实上，毕业论文的主要内容就是路径积分的一些入门级别的内容，标题为《随机游走、随机微分方程与偏微分方程的路径积分方法》。我的摘要是这样写的：

本文从随机游走模型出发，得到了关于随机游走模型的一般结果；然后基于随机游走模型引入了路径积分，并且通过路径积分方法，实现了随机游走、随机微分方程与抛物型微分方程的相互转化，并给出了一些计算案例.

路径积分方法是量子理论的一种形式，但实际上它可以抽象为一个有用的数学工具，本文的主要方法正是抽象后的路径积分；其次，量子力学中有一个相当典型的抛物型偏微分方程——薛定谔方程，物理学家已经对它进行了大量的研究，有众多的成果；而随机微分方程是一个微分方程的拓展，在物理、工程、金融等很多方面都有重要应用，这个领域中也有很多研究方法；最后，随机游走是一个简单而重要的模型，它是很多扩散模型的基础，而且具有容易使用计算机模拟的特性. 因此，实现三者的转化是很有意义的.

本文有一些新的内容，比如现有文献比较少研究的不对称随机游走方面、以及现有文献比较含糊的对路径积分的介绍等，可以供同好参考，希望借此方式，能够让一些读者以更简洁明了的方式理解路径积分. 但是本文主要是陈述性的，旨在在国内推广路径积分方法. 在国外，路径积分方法得到了相当的重视，它源于量子力学，但应用已经不仅仅限于量子力学，如著作[1]，因此，推广路径积分方法、增加路径积分的中文资料，是很有意义和很有必要的事情.

本文所有推导和例子均以一维为例，相应的多维问题可以类似地计算。

大体的内容如目录：

1 随机游走
1.1 模型简介 ................................................ 1
1.2 非对称随机游走............................................. 2
1.3 简化形式 ................................................ 3
1.4 计算机模拟............................................... 3
2 路径积分 4
2.1 从点的概率到路径的概率 ....................................... 4
2.2 对路径进行求和............................................. 5
2.3 抛物方程的路径积分.......................................... 5
2.4 从路径积分到偏微分方程 ....................................... 7
2.5 一些算例 ................................................ 7
2.5.1 最可能路径........................................... 7
2.5.2 二次型作用量.......................................... 8
2.5.3 微扰展开 ............................................ 8
3 随机微分方程 9
3.1 概念................................................... 9
3.2 线性随机微分方程 ........................................... 9
3.3 计算雅可比行列式 ........................................... 10
3.4 路径积分方法.............................................. 12
4 一些例子 13
4.1 股票价格模型.............................................. 13
5 论文综述 14
参考文献 15

不打算直接发布PDF，而是略微修改地发布在博客之中。由于博客的排版与原始的LaTeX有一定出入，因此需要花上一定的时间修改。本系列定位为路径积分入门教程，因此对原论文中一些不详细部分会多加说明，因此会比原论文还要详细些。但由于论文写作的时候要求比较完整，因此有些内容可能会跟博客中已有的文章重复，请读者谅解。

参考文献：

[1] Hagen Kleinert;《Pah Integrals in Quantum Mechanics,Statistics,Plymer Physics,and Financial Markets》 第五版 [M]; 世界图书出版公司
[2] Papoulis A., Pillai S.U.;《概率、随机变量与随机过程》(第 4 版)[M]; 西安交通大学出版社
[3] Gregory F. Lawler; Random Walk and the Heat Equation[J]
[4] Sheldon M. Ross(作者), 龚光鲁 (译者); 《随机过程》[M]; 机械工业出版社
[5] Feynman;《量子力学与路径积分》[M]; 高等教育出版社
[6] 侯伯元, 云国宏, 杨战营;《路径积分与量子物理导引:现代高等量子力学初步》[M]; 科学出版社
[7] M Chaichian, A Demichev; Path Integrals in Physics: Volume I Stochastic Processes and Quantum Me-
chanics
[8] Carson C. Chow,Michael A. Buice; Path Integral Methods for Stochastic Di erential Equations[J]
[9] Horacio S.Wio; APPLICATION OF PATH INTEGRATION TO STOCHASTIC PROCESSES: AN IN- TRODUCTION[J]
[10] Belal E.Baaquie; Quantum Finance: Path Integrals and Hamiltonians for Options and Interest Rates[M];
世界图书出版公司

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