胡闹的胜利：将算子引入级数求和

在文章《有趣的求极限题：随心所欲的放缩》中，读者“最近倒了”提出了一个新颖的解法，然而这位读者写得并非特别清晰，更重要的是里边的某些技巧似乎是笔者以前没有见过的，于是自行分析了一番，给出了以下解释。

胡闹的结果 #

假如我们要求级数和
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A_k}{n^k}$$
这里$A_0=1$。一般而言，我们用下标来标注不同的数，如上式的$A_k,\,k=0,1,2,\dots$，可是有的人偏不喜欢，他们更喜欢用上标来表示数列中的各项，他们把上面的级数写成
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A^k}{n^k}$$
可能读者就会反对了：这不是胡闹吗，这不是让它跟分母的n的k次幂混淆了吗？可是那人干脆更胡闹一些，把级数写成
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A^k}{n^k}=\left(1+\frac{A}{n}\right)^n$$
看清楚了吧？他干脆把$A$当作一个数来处理了！太胡闹了，$A$是个什么东西？估计这样的孩子要被老师赶出课堂的了。

可是换个角度想想，似乎未尝不可。

我们把$A$是为一个线性算子，它$k$次作用于实数$x$后，产生$A_k x$，也就是说$A^k x=A_k x$。那么我们把$\left(1+\frac{A}{n}\right)^n$作用于实数$1$，自然就得到原始的级数了。这样做有什么好处呢？如果是求$n\to\infty$的极限，就有些好玩的东西了：
$$\begin{aligned}&\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A_k}{n^k}\\
=&\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{A}{n}\right)^n\\
=&e^A\\
=&\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}A^k\\
=&\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}A_k\end{aligned}$$

这里我们实现了从一个级数到另外一个级数的转化！这里是基于$A$是线性算子的结果，而且由于只引入了一个算子，并不存在非交换代数的问题，因此，一切运算规律保持着！

胡闹的胜利 #

现在我们来看看胡闹的结果有什么应用？假设$A_k=\frac{k!}{2^k}$，计算我们原始级数的极限，即
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n \frac{n!}{(n-k)!}\frac{1}{(2n)^k}$$
似乎并没有什么简单的技巧做这件事。

但是，利用我们胡闹的结果，就显得比较简单，也就是
$$\begin{aligned}&\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A_k}{n^k}\\
=&e^A\\
=&\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}A_k\\
=&\sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k\\
=&2\end{aligned}$$

这正好是最终的正确结果！

读者同样可以构造一些其他的例子，笔者愚钝，只想到了这么一个简单的例子。

现在，我们在来看文章《有趣的求极限题：随心所欲的放缩》中读者“最近倒了”的解法。原题是
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1^n + 2^n +\dots + n^n}{n^n}$$
对于分子中的级数求和，我们有（请参考维基百科的“伯努利数”）
$$\sum_{k=0}^{m-1} k^n = \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n \binom{n+1}{k} B_k m^{n+1-k}$$
于是我们有
$$\sum_{k=0}^{n} k^n = \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n \binom{n+1}{k} B_k (n+1)^{n+1-k} = \sum_{k=0}^n \binom{n+1}{k} B_k (n+1)^{n-k}$$
根据上面的“胡闹”，将$B$看成算子，$B^k=B_k$，那么上式就是
$$\sum_{k=0}^{n} k^n = (B+n+1)^n$$
于是
$$\begin{aligned}&\lim_{n\to\infty} \frac{1^n + 2^n +\dots + n^n}{n^n}\\
=&\lim_{n\to\infty} \frac{(B+n+1)^n}{n^n}\\
=&\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{B+1}{n}\right)^n\\
=& e^{B+1} =e\times e^B\end{aligned}$$
注意到
$$e^B=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}B_k=\frac{1}{e-1}$$
正好是伯努利数的母函数定义的结果！于是
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1^n + 2^n +\dots + n^n}{n^n}=\frac{e}{e-1}$$

微妙之处 #

将数列与算子的幂一一对应的微妙，笔者还不能完全领悟到。隐约感觉到，它和母函数法应该有紧密的联系。如有进一步的结果，笔者再来与大家分享。

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