级数求和——近似的无穷级数
By 苏剑林 | 2010-09-10 | 47948位读者 | 引用级数是数学的一门很具有实用性的分支,而级数求和则是级数研究中的核心内容之一。很多问题都可以表示成一个级数的和或积,也就是$\sum_{i=1}^n f(i)$或者是$\prod_{i=1}^n f(i)$类型的运算。其中,$\ln(\prod_{i=1}^n f(i))=\sum_{i=1}^n \ln(f(i))=k$,因此$\prod_{i=1}^n f(i)=e^k$,也就是说,级数求积也可以变为级数求和来计算,换言之我们可以把精力放到级数求和上去。
为了解决一般的级数求和问题,我们考虑以下方程的解:
$$f(x+\epsilon)-f(x)=g(x)\tag{1}$$其中g(x)是已知的以x为变量的函数式,$\epsilon $是常数,初始条件是$f(k)=b$,要求f(x)的表达式。
无穷级数求和的积分审敛法
By 苏剑林 | 2009-08-12 | 42196位读者 | 引用一道级数求和证明题(非数学归纳法)
By 苏剑林 | 2009-08-02 | 18093位读者 | 引用关于无理数及其和的证明
By 苏剑林 | 2009-07-31 | 23441位读者 | 引用在中学,有理数的定义为整数和分数的集合,统一来说就是能够写成两个整数之比的数。那相对地,无理数自然就是不能写成两个整数之比的数了,也就是无限不循环小数,比如$\pi,\sqrt{2}$等等。历史上无理数的发现带来了第一次数学危机,并生下了一颗“金蛋”,不过发现者却因此丢掉了生命。让我们永远铭记——希帕索斯(Hippasus)。
历史:
http://baike.baidu.com/view/1167.htm#2
在这里对无理数就不多说些什么了,主要是谈谈相关的证明而已。
先说明,以下是我自己的证明方法,当然我相信有一种方法是通用的,但是我没有找出来。
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