今天在数学研发论坛看到了一道题目：

$$\sum_{j=0}^{j=n} (jx^j)={nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}/{(x-1)^2}$$

这道题实际是求$x+2x^2+3x^3+...+nx^n$的求和公式而已。

本来呢用数学归纳法是十分简单的（数学归纳法对于证明简单，对于推导就不行了），但是题目说不能用数学归纳法。只好用以下方法了。

我们把它改写成：

$$\begin{aligned}x(1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}) \\ \Rightarrow x[1+x+x^2+...+x^{n-1}+x(1+x+x^2+...+x^{n-2})+...+x^{n-1}] \\ \Rightarrow x[{x^n-1+x(x^{n-1}-1)+x^2(x^{n-2}-1)+...+x^{n-1}(x-1)}/{x-1}] \\ \Rightarrow x[{nx^n-(1+x+x^2+...+x^{n-1})}/{x-1}] \\ \Rightarrow x[{nx^n-{x^n-1}/{x-1}}/{x-1}]\end{aligned}$$
$\Rightarrow x[{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}/{(x-1)^2}]

剩下来的就不写了。不用说了吧？

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苏剑林. (Aug. 02, 2009). 《一道级数求和证明题(非数学归纳法) 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/49

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        title={一道级数求和证明题(非数学归纳法)},
        author={苏剑林},
        year={2009},
        month={Aug},
        url={\url{https://kexue.fm/archives/49}},
}