实数集到无理数集的双射
By 苏剑林 | 2014-09-22 | 36088位读者 | 引用集合论的结果告诉我们,全体实数的集合$\mathbb{R}$跟全体无理数的集合$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$是等势的,那么,如何构造出它们俩之间的一个双射出来呢?这是一个颇考读者想象力的问题。当然,如果把答案给出来,又似乎显得没有那么神秘。下面给出笔者构造的一个例子,读者可以从中看到这种映射是怎么构造的。
为了构造这样的双射,一个很自然的想法是,让全体有理数和部分无理数在它们自身内相互映射,剩下的无理数则恒等映射。构造这样的一个双射首先得找出一个函数,它的值只会是无理数。要找到这样的函数并不难,比如我们知道:
1、方程$x^4 + 1 = y^2$没有除$x=0,y=\pm 1$外的有理点,否则将与费马大定理$n=4$时的结果矛盾。
2、无理数的平方根依然是无理数。
根据这些信息,足以构造一个正实数$\mathbb{R}^+$到正无理数$\mathbb{R}^+ \backslash \mathbb{Q}^+$的双射,然后稍微修改一下,就可以得到$\mathbb{R}$到$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$的双射。
Cantor-Bernstein 定理(给出双射!)
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By 苏剑林 | 2011-02-26 | 49720位读者 | 引用级数求和——近似的无穷级数
By 苏剑林 | 2010-09-10 | 47825位读者 | 引用级数是数学的一门很具有实用性的分支,而级数求和则是级数研究中的核心内容之一。很多问题都可以表示成一个级数的和或积,也就是$\sum_{i=1}^n f(i)$或者是$\prod_{i=1}^n f(i)$类型的运算。其中,$\ln(\prod_{i=1}^n f(i))=\sum_{i=1}^n \ln(f(i))=k$,因此$\prod_{i=1}^n f(i)=e^k$,也就是说,级数求积也可以变为级数求和来计算,换言之我们可以把精力放到级数求和上去。
为了解决一般的级数求和问题,我们考虑以下方程的解:
$$f(x+\epsilon)-f(x)=g(x)\tag{1}$$其中g(x)是已知的以x为变量的函数式,$\epsilon $是常数,初始条件是$f(k)=b$,要求f(x)的表达式。
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