级数求和——近似的无穷级数
By 苏剑林 | 2010-09-10 | 47825位读者 |级数是数学的一门很具有实用性的分支,而级数求和则是级数研究中的核心内容之一。很多问题都可以表示成一个级数的和或积,也就是$\sum_{i=1}^n f(i)$或者是$\prod_{i=1}^n f(i)$类型的运算。其中,$\ln(\prod_{i=1}^n f(i))=\sum_{i=1}^n \ln(f(i))=k$,因此$\prod_{i=1}^n f(i)=e^k$,也就是说,级数求积也可以变为级数求和来计算,换言之我们可以把精力放到级数求和上去。
为了解决一般的级数求和问题,我们考虑以下方程的解:
$$f(x+\epsilon)-f(x)=g(x)\tag{1}$$其中g(x)是已知的以x为变量的函数式,$\epsilon $是常数,初始条件是$f(k)=b$,要求f(x)的表达式。
把$f(x+\epsilon )$用泰勒级数展开,得到
$$f(x+\epsilon )=f(x)+f'(x)\epsilon +1/2 f''(x)\epsilon^2+1/6 f'''(x)\epsilon^3+...$$
代入原方程后得到
$$f'(x)\epsilon +1/2 f''(x)\epsilon^2+1/6 f'''(x)\epsilon^3+...=g(x)\tag{2}$$逐项积分得
$$f(x)\epsilon +1/2 f'(x)\epsilon^2+1/6 f''(x)\epsilon^3+1/24 f'''(x)\epsilon^4+...=\int g(x)dx$$
整理得到
$$f(x)\epsilon =\int g(x)dx-(1/2 f'(x)\epsilon^2+1/6 f''(x)\epsilon^3+1/24 f'''(x)\epsilon^4+...)\tag{3}$$
将(1)各项微分,得到
$$f'(x+\epsilon)-f'(x)=g'(x)\tag{4}$$由公式(2)可以得到
$$f'(x)\epsilon =\int g'(x)dx-(1/2 f''(x)\epsilon^2+1/6 f'''(x)\epsilon^3+1/24 f^{(4)}(x)\epsilon^4+...)\tag{5}$$将(5)代入(3)得到
$$\begin{aligned}f(x)\epsilon = \int g(x)dx-{1/2 [g(x)-(1/2 f''(x)\epsilon^2+1/6 f'''(x)\epsilon^3+1/24 f^{(4)}(x)\epsilon^4+...)]\epsilon^2 \\ +1/6 f''(x)\epsilon^3+1/24 f'''(x)\epsilon^4+..} \\ = \int g(x)dx-1/2 g(x)+\sum_{i=2}^{\infty}(1/2\cdot 1/{i!}\epsilon^{i+2}-1/{(i+1)!}\epsilon^{i+1}) f^{(i)}(x)\end{aligned}\tag{6}$$
上面的推算会给我们一些启示:我们可以发现,方程
$$f(x+\epsilon)-f(x)=g(x)$$
的解可以表示为级数
$$\epsilon f(x)=C+a_0\int g(x)dx+a_1 g(x)+a_2 g'(x)+a_3 g''(x)...\tag{7}$$
其中C和a都是只和$\epsilon$有关的常数。将这个解代入(2)后得到
$$\begin{aligned}a_0 g(x)+a_1 g'(x)+a_2 g''(x)+a_3 g'''(x)...+ \\ 1/2\cdot (a_0 g'(x)+a_1 g''(x)+a_2 g'''(x)+a_3 g^{(4)}(x)...)\epsilon \\ +1/6\cdot (a_0 g''(x)+a_1 g'''(x)+a_2 g^{(4)}(x)+a_3 g^{(5)}(x)...)\epsilon^2+...=g(x)\end{aligned}$$
整理得
$$\begin{aligned}a_0 g(x)+(a_1+1/2 a_0 \epsilon) g'(x)+(a_2+1/2 a_1 \epsilon+1/6 a_0 \epsilon^2) g''(x)+ \\ (a_3+1/2 a_2 \epsilon+1/6 a_1 \epsilon^2+1/{24} a_0 \epsilon^2) g'''(x)+...=g(x)\end{aligned}$$
根据级数相等的原则,必须要求
$$a_0=1,\sum_{i=0}^n(a_i \epsilon^{n-i}\cdot \frac{1}{(n+1-i)!})=0$$
或者写成
$$a_0=1,a_n=-\sum_{i=0}^{n-1}(a_i \epsilon^{n-i}\cdot \frac{1}{(n+1-i)!})\tag{8}$$
到此,我们已经求出了方程$f(x+\epsilon)-f(x)=g(x)$的通解了。并且根据初始条件,我们可以得出唯一解。即
$$\epsilon f(x)=b\epsilon +[a_0\int g(x)dx+a_1 g(x)+a_2 g'(x)+a_3 g''(x)...]_k^x$$
上面讨论了一大片,也许有的读者会感到一片茫然:这和级数有什么关系呀??有,当然有,比如
设$S(n)=\sum\limits_{i=1}^n f(i)$,那么$S(n+1)-S(n)=f(n+1)$。
现在你明白了吧,如果已知通项公式,那么级数求和就等价于方程(1)中$\epsilon=1$的情况!为了应用方便,我们把(8)式中$\epsilon=1$的系数都列出来:
$a_0=1$
$$\begin{aligned}a_1=-1/2,a_2=1/12 \\ a_3=0,a_4=-1/720 \\ a_5=0,a_6=1/30240 \\ a_7=0,a_8=-1/1209600 \\ a_9=0,a_10=1/47900160 \\ a_11=0,a_12=-691/1307674368000\end{aligned}$$
......
可见,收敛是迅速的。这种求和方法就是著名的“欧拉——马克劳林求和公式”。根据上面的结果,我们尝试为寻找一些求和公式,如$\sum_{x=1}^n x^3$,可以按照以下步骤:
$$\begin{aligned}s(n+1)-s(n)=(n+1)^3,S(1)=1 \\ \int (n+1)^3=1/4 (n+1)^4 \\ \frac{d(n+1)^3}{dn}=3(n+1)^2 \\ \frac{d^2(n+1)^3}{dn^2}=6(n+1) \\ \frac{d^3(n+1)^3}{dn^3}=6\end{aligned}$$
因此
$$\begin{aligned}\sum_{x=1}^n x^3=&\,S(n) \\
=&\, 1+[1/4 (n+1)^4+(n+1)^3\cdot (-1/2)+3(n+1)^2\cdot (1/12)+6\cdot (-1/720)]_1^n \\
=&\,{n^4}/4+{n^3}/2+{n^2}/4\end{aligned}$$
另外,比如可以为n!寻找一条近似公式。$\ln(n!)=\sum_{x=1}^n \ln x$,即求解$s(x+1)-s(x)=\ln(x+1)$。而$\int \ln (x+1) dx=(x+1) \ln(x+1) -(x+1)+Const$,于是很自然地,一级近似就是$n!\approx e^{(x+1) \ln(x+1) -(x+1)+2(1-\ln2)}$,并可以继续写出:
$$\begin{aligned}\sum_{x=1}^n \ln x=C_0+[(x+1) \ln(x+1) -(x+1)-1/2 \ln(x+1)+ \\ 1/{12(x+1)}-1/{360(x+1)^3}+1/{1260(x+1)^5}-1/{1680(x+1)^7}..]_k^n\end{aligned}$$
其中$C_0=\sum_{x=1}^k \ln x$,可见,这条公式是收敛的。
转载到请包括本文地址:https://kexue.fm/archives/922
更详细的转载事宜请参考:《科学空间FAQ》
如果您还有什么疑惑或建议,欢迎在下方评论区继续讨论。
如果您觉得本文还不错,欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!
如果您需要引用本文,请参考:
苏剑林. (Sep. 10, 2010). 《级数求和——近似的无穷级数 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/922
@online{kexuefm-922,
title={级数求和——近似的无穷级数},
author={苏剑林},
year={2010},
month={Sep},
url={\url{https://kexue.fm/archives/922}},
}
September 10th, 2010
很高深,对我说来,祝你IOAA取得好成绩!
September 10th, 2010
看不懂啊 啊啊啊啊啊啊
记住,用心!稍稍了解泰勒级数的读者基本都可以读懂
August 2nd, 2015
这方法不错,那么求1^2+2^2+3^2+...n^2通项公式就简单多了
May 19th, 2024
试图让上述过程更加清晰
根据$f(x+\epsilon)-f(x)=g(x)$ ,对$f(x)$ 进行泰勒展开得到
$f(x+\epsilon) = f(x)+f'(x)\epsilon +1/2! f''(x)\epsilon^2+1/3! f'''(x)\epsilon^3 + \cdots$
则有$g(x) = f'(x)\epsilon +1/2! f''(x)\epsilon^2+1/3! f'''(x)\epsilon^3+ \cdots $
目标是使用$g(x)$以及它的积分和求导运算表示$f(x)$
对$g(x)$ 求积分可以得到
$\int g(x)dx = f(x)\epsilon + \frac{1}{2!}f'(x)\epsilon^2 + 1/3! f''(x)\epsilon^3 + 1/4! f'''(x)\epsilon^4 + \cdots$
$g(x) = f'(x)\epsilon +1/2! f''(x)\epsilon^2+1/3! f'''(x)\epsilon^3+ \cdots $
$g'(x) = f''(x)\epsilon + 1/2! f'''(x)\epsilon^2 + 1/3! f''''(x)\epsilon^3+\cdots$
$g''(x) = f'''(x)\epsilon + 1/2! f''''(x)\epsilon^2 + 1/3! f'''''(x)\epsilon^3+\cdots$
我们将$g(x)$和$g'(x)$ 分别去替换掉$f'(x)$ 和$f''(x)$ ,于是有下列算式
$\int g(x) dx = f(x)\epsilon + a_0 g(x) + a_1 g'(x) + a_2 g''(x) + \cdots$
通过待定系数可以得到
$f'(x)$ $1/2! \epsilon^2 = a_0 \epsilon$
$f''(x)$ $1/3!\epsilon^3 = a_0 1/2!\epsilon^2 + a_1 \epsilon$
$f'''(x)$ $1/4!\epsilon^4=a_01/3!\epsilon^3+a_11/2!\epsilon^2+a_2\epsilon$
当$\epsilon = 1$ 时,则即为级数求和$f(x + 1) - f(x) =g(x)$ 其中$x = n$ ,于是有
$a_0 = 1/2!=1/2$
$a_1 = 1/3! - a_0\cdot 1/2!=-1/12$
$a_2 = 1/4! - a_0\cdot 1/3! - a_1 \cdot 1/2!=0$
$a_3 = 1/5! - a_0 \cdot 1/4! - a_1 \cdot 1/3! - a_2 \cdot 1/2!=-1/720$
上述过程通过上三角矩阵求逆可以迅速求解,注意到这些系数与函数$g(x)$ 无关
注意到求积分需要初始条件$f(k) = b$
$f(x) = 1/\epsilon \cdot [\int g(x) dx - ( a_0 g(x) + a_1 g'(x) + a_2 g''(x) + \cdots)]$