科学空间|Scientific Spaces

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阅读小提示：亲爱的读者，你可以选择不读这篇文章，但如果你选择了阅读，请一定要阅读完。BoJone对“半途而废”所造成的后果一概不负责任^_^。

函数图像旋转

我们来考虑下一个旋转问题：将某一函数图像y=f(x)，绕点(p,q)逆时针旋转了θ角之后，得到的图象的解析式。

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昨天在浏览网页的时候，发现了一道有趣的方程：
$$x^{x^{x^{\dots}}}=2$$
各位读者先别急着往下看，不妨自己求解一下？

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转自：http://bbs.emath.ac.cn/redirect.php?tid=1989

来源：http://cid-ec227156e4cad4ab.profile.live.com/

不论是对于学习高等数学还是初中数学，里面都有不少数学精品。BoJone一发现，便用Thunder下了一大堆（正好满足了我加强“数学分析”的需要），并立即与大家分享了。资源储存在微软的网盘，按常理来说不存在链接失效的问题，不过BoJone建议需要的读者还是尽快下载到自己的电脑上，毕竟这样更加保险，因为或许哪一天作者不愿意共享了，那就“走宝”了，呵呵。

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之前在这篇文章中，我们使用过一个牛顿引力场中的自由落体公式：
\begin{equation}t=\sqrt{\frac{r_0}{2GM}}\left(r_0 \cdot \arctan \sqrt{\frac{r_0 -r}{r}}+\sqrt{r(r_0 -r)}\right)\label{eq:1}\end{equation}

我们来尝试一下推导出这个公式来。

跳伞过程中的自由落体阶段

同时，站长在逐渐深入研究的过程中，发现微分方程极其重要。以前一些我认为不可能解决的问题，都用微分方程逐渐解决了。在以后的文章里，我们将会继续体验到微分方程的伟大魔力！因此，建议各位有志研究物理学的朋友，一定要掌握微分方程，更加深入的，需要用到偏微分方程！

首先，质量为$m$的物理在距离地心$r$处的引力为$\frac{GMm}{r^2}$，根据牛顿第二定律$F=ma$，自然下落的物体所获得的加速度为$\frac{GM}{r^2}$。假设物体从距离地心$r$开始向地心自由下落，求位移$s$关于$t$的函数$s=s(t)$.

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在数学中，我们把极限
$$\lim_{x->\infty}(1+1/x)^x$$

记为e，并且可以计算出e=2.7182818284590452353602...，这是一个与π同等重要的数（甚至有些书认为它比π更重要）。和π一样，这个数也是一个“无理数”。现在我们来证明一下

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首先我们考虑下级数
$$S=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1}(1/i)=1-1/2+1/3-1/4+...+(-1)^{n+1}(1/n)$$
当$n->\infty$的敛散性。

首先由于$\lim_{n->\infty}(-1)^{n+1}(1/n)=0$，所以如果S发散，必定$S->\infty$.

我们不妨假设这个级数发散，于是

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在网上查找到的，好像有三个不同的版本，全部摘录在此。

关于正17边形的尺规作图方法，请看：
http://kexue.fm/article.asp?id=104

本文章只是证明它的存在（就是求出$\cos ({2\pi}/{17})$）。

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