几何-算术均值不等式的一般证明
By 苏剑林 | 2009-08-24 | 42917位读者 |本证明是站长经过很长时间独立研究得出,望转载者要注明原作者和出处,否则定追究版权责任! (公式很多,推荐使用火狐浏览器)
关于这个不等式由来已久,从$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$开始,人们逐渐地发现,只要$a_1,a_2,...,a_n \geq 0$,那么就一定会有$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2...a_n}$。对于比较小的n,人们已经可以证明上式成立,但是,一般形式的证明则是近年来的事情。
我自己很早就接触到了这个不等式(好像是3年前,我读六年级),从那个时候开始,我就一直寻找这个不等式的证明,但是除了n=2的情况外,其余一直未果。直到三个月前的一节数学课,在发愣之余就想出来了(^_^)。一开始证明了n=3的情况,然后就势如破竹,证明了对于任何的n,这条不等式都成立。
事实上,上述不等式也等价于$a_1^n+a_2^n+...+a_n^n \geq n a_1 a_2...a_n$,本文目的要证明这一条不等式。采用的方法是“数学归纳法”,即当n=k时不等式成立的条件是n=k-1,n=k-2,...,n=1时不等式都要成立,而我们可以证明直接n=2成立,于是便逐步证明了该不等式。现将证明描述如下(这里的a,b,c等字母都表示非负数):
在描述通用的证明前,我们不妨看几个例子
(1)证明:$a^2+b^2 \geq 2ab$
我们不妨抛弃书本上的证明,令$a\leq b,b=a+x$,那么就有$a^2+(a+x)^2 \geq 2a(a+x)$,拆开后变成$2a^2+2ax+x^2 \geq 2a^2+2ax$,很明显这是成立的。
(2)证明:$a^3+b^3+c^3 \geq 3abc$
同样的办法,令$a\leq b\leq c,b=a+x,c=a+y$,那么就有$a^3+(a+x)^3+(a+y)^3 \geq 3a(a+x)(a+y)$,拆开$a^3+a^3+3a^2 x+3ax^2+x^3+a^3+3a^2 y+3ay^2+y^3 \geq 3a^3+3a^2 x+3a^2 y+3axy$
变为:$x^3+y^3+3a(x^2+y^2) \geq 3axy$,很明显$x^2+y^2 \geq xy$,因此该式是成立的。
看完后,大家明白证明的要诀了吧?一般情形的证明如下
初等数学语言版本
假设对于n的值为1,2,...,n-1,该不等式成立,那么证明:$a_1^n+a_2^n+...+a_n^n \geq n a_1 a_2...a_n$
令$a_{i+1} \geq a_i,a_1=a,a_{i+1}=a+x_i$,其中i=1,2,3,...,n。变成:
$a^n+(a+x_1)^n+...+(a+x_{i-1})^n \geq na(a+x_1)...(a+x_{i-1})$,根据杨辉三角展开:
$$\begin{aligned}a^n+ \\ a^n+C_n^1 a^{n-1}x_1+C_n^2 a^{n-2}x_1^2+...+x_1^n+ \\ a^n+C_n^1 a^{n-1}x_2+C_n^2 a^{n-2}x_2^2+...+x_2^n+ \\ ......+ \\ a^n+C_n^1 a^{n-1}x_{n-1}+C_n^2 a^{n-2}x_{n-1}^2+...+x_{n-1}^n \geq \\ na^n+na^{n-1}(x_1+x_2+...+x_{n-1})+na^{n-2}(x_1 x_2+x_1 x_3+...+x_{n-2}x_{n-1})+ \\ ...+nax_1 x_2...x_{n-1}\end{aligned}$$
注:这里的$C_a^b$是指排列组合数,也是杨辉三角中数的计算公式。定义为:从a个不同数中挑选出b个数的不同组合方式的数目,计算规则为:$C_a^b=\frac{a!}{b!(a-b)!}$
对消,合并,有
$$\begin{aligned}{C_n^2}/{n}a^{n-2}(x_1^2+...x_{n-1}^2)+{C_n^3}/{n}a^{n-3}(x_1^3+...x_{n-1}^3)+...+{x_1^n+x_2^n+...+x_{n-1}^n}/{n} \\ \geq a^{n-2}(x_1 x_2+...+x_{n-2}x_{n-1})+a^{n-3}(x_1 x_2 x_3+...+x_{n-3}x_{n-2}x_{n-1})+...\end{aligned}$$
$+ax_1 x_2...x_{n-1}$ ————(A)
为了证明原式,则必须证明上式成立。
$(x_1 x_2+...+x_{n-2}x_{n-1})$的项数为$C_{n-1}^2$,$(x_1 x_2 x_3+...+x_{n-3}x_{n-2}x_{n-1})$的项数为$C_{n-1}^3$。
通过轮换相乘可以知道,当
$$a_1^p+a_2^p+...+a_p^p \geq p a_1 a_2...a_p$$
成立的时候,必定有${C_{n-1}^p}/{n-1}(x_1^p+...+x_{n-1}^p) \geq (x_1 x_2...x_p+...+x_{n-p}x_{n-p+1}...x_{n-1})$
而又有${C_{n}^p}/{n} \geq {C_{n-1}^p}/{n-1}$,因此在(A)中,左边的每一项都不小于右边相对应的项,所以(A)式成立。因此$a_1^n+a_2^n+...+a_n^n \geq n a_1 a_2...a_n$成立
看完后,是不是感到很复杂?相信我,只要用点心阅读,一定会觉得很简单。特别是如果用来证明n比较小的特例,这绝对是最完美的方法!
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August 25th, 2009
倒数第三行的不等式右边好像没2吧,这一步看了好一会儿,感觉前面再添一步好些,呵呵!
应该没有其他人这样证明过,前途无量啊!
但这种方法估计一般高中生也不容易接受,虽然都是高中知识,有一种数学归纳法比这要好理解、方便!
评论区怎么不支持公式啊?
August 25th, 2009
还有就是不能很好的体现取等号时的条件
August 25th, 2009
嗯,是的,那个2多出来了,已经修改。
取等号的条件是$x_1=x_2=...=0$,这很容易看出来,因为(A)的左边比右边多了一个项:${x_1^n+x_2^n+...+x_{n-1}^n}/{n}$,要取等号,这个项必须为0,这就说明其中一个$x_i$为0,有一个$x_i$为0,其余必须都得为0
August 25th, 2009
公式在任何地方都可以输入。只要在可以输入的地方,写上\$代码\$,就可以显示数学公式。
个人感觉,这个证明牵涉了一些额外的东西(比如杨辉三角),如果读者有一定量的课外知识,这是一个比较容易理解的证明;否则就相对难理解。
但是有一个优点:如果我们只希望证明n比较小的时候的特例(比如n=3,n=4),这是一个最好的方法!