几何-算术均值不等式的一般证明

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关于这个不等式由来已久，从$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$开始，人们逐渐地发现，只要$a_1,a_2,...,a_n \geq 0$，那么就一定会有$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2...a_n}$。对于比较小的n，人们已经可以证明上式成立，但是，一般形式的证明则是近年来的事情。

我自己很早就接触到了这个不等式（好像是3年前，我读六年级），从那个时候开始，我就一直寻找这个不等式的证明，但是除了n=2的情况外，其余一直未果。直到三个月前的一节数学课，在发愣之余就想出来了(^_^)。一开始证明了n=3的情况，然后就势如破竹，证明了对于任何的n，这条不等式都成立。

事实上，上述不等式也等价于$a_1^n+a_2^n+...+a_n^n \geq n a_1 a_2...a_n$，本文目的要证明这一条不等式。采用的方法是“数学归纳法”，即当n=k时不等式成立的条件是n=k-1,n=k-2,...,n=1时不等式都要成立，而我们可以证明直接n=2成立，于是便逐步证明了该不等式。现将证明描述如下（这里的a,b,c等字母都表示非负数）：

在描述通用的证明前，我们不妨看几个例子

(1)证明：$a^2+b^2 \geq 2ab$
我们不妨抛弃书本上的证明，令$a\leq b,b=a+x$，那么就有$a^2+(a+x)^2 \geq 2a(a+x)$，拆开后变成$2a^2+2ax+x^2 \geq 2a^2+2ax$，很明显这是成立的。

(2)证明：$a^3+b^3+c^3 \geq 3abc$
同样的办法，令$a\leq b\leq c,b=a+x,c=a+y$，那么就有$a^3+(a+x)^3+(a+y)^3 \geq 3a(a+x)(a+y)$，拆开$a^3+a^3+3a^2 x+3ax^2+x^3+a^3+3a^2 y+3ay^2+y^3 \geq 3a^3+3a^2 x+3a^2 y+3axy$
变为：$x^3+y^3+3a(x^2+y^2) \geq 3axy$，很明显$x^2+y^2 \geq xy$，因此该式是成立的。

看完后，大家明白证明的要诀了吧？一般情形的证明如下

初等数学语言版本

假设对于n的值为1,2,...,n-1，该不等式成立，那么证明：$a_1^n+a_2^n+...+a_n^n \geq n a_1 a_2...a_n$

令$a_{i+1} \geq a_i,a_1=a,a_{i+1}=a+x_i$，其中i=1,2,3,...,n。变成：

$a^n+(a+x_1)^n+...+(a+x_{i-1})^n \geq na(a+x_1)...(a+x_{i-1})$，根据杨辉三角展开：

$$\begin{aligned}a^n+ \\ a^n+C_n^1 a^{n-1}x_1+C_n^2 a^{n-2}x_1^2+...+x_1^n+ \\ a^n+C_n^1 a^{n-1}x_2+C_n^2 a^{n-2}x_2^2+...+x_2^n+ \\ ......+ \\ a^n+C_n^1 a^{n-1}x_{n-1}+C_n^2 a^{n-2}x_{n-1}^2+...+x_{n-1}^n \geq \\ na^n+na^{n-1}(x_1+x_2+...+x_{n-1})+na^{n-2}(x_1 x_2+x_1 x_3+...+x_{n-2}x_{n-1})+ \\ ...+nax_1 x_2...x_{n-1}\end{aligned}$$

注：这里的$C_a^b$是指排列组合数，也是杨辉三角中数的计算公式。定义为：从a个不同数中挑选出b个数的不同组合方式的数目，计算规则为：$C_a^b=\frac{a!}{b!(a-b)!}$

对消，合并，有

$$\begin{aligned}{C_n^2}/{n}a^{n-2}(x_1^2+...x_{n-1}^2)+{C_n^3}/{n}a^{n-3}(x_1^3+...x_{n-1}^3)+...+{x_1^n+x_2^n+...+x_{n-1}^n}/{n} \\ \geq a^{n-2}(x_1 x_2+...+x_{n-2}x_{n-1})+a^{n-3}(x_1 x_2 x_3+...+x_{n-3}x_{n-2}x_{n-1})+...\end{aligned}$$
$+ax_1 x_2...x_{n-1}$ ————(A)

为了证明原式，则必须证明上式成立。

$(x_1 x_2+...+x_{n-2}x_{n-1})$的项数为$C_{n-1}^2$，$(x_1 x_2 x_3+...+x_{n-3}x_{n-2}x_{n-1})$的项数为$C_{n-1}^3$。

通过轮换相乘可以知道，当

$$a_1^p+a_2^p+...+a_p^p \geq p a_1 a_2...a_p$$
成立的时候，必定有${C_{n-1}^p}/{n-1}(x_1^p+...+x_{n-1}^p) \geq (x_1 x_2...x_p+...+x_{n-p}x_{n-p+1}...x_{n-1})$

而又有${C_{n}^p}/{n} \geq {C_{n-1}^p}/{n-1}$，因此在(A)中，左边的每一项都不小于右边相对应的项，所以(A)式成立。因此$a_1^n+a_2^n+...+a_n^n \geq n a_1 a_2...a_n$成立

看完后，是不是感到很复杂？相信我，只要用点心阅读，一定会觉得很简单。特别是如果用来证明n比较小的特例，这绝对是最完美的方法！

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