椭圆面积和周长的求法,看上去没有什么区别。不过实际上它们的难度有着天壤之别。
椭圆所包围的面积是$S=\pi ab$,这里的a和b是半长轴和半短轴。仅根据椭圆标准方程就可以推导出来。
目前还没有找到椭圆周长的一般公式,要想精确求解,只有代入以下无穷级数:
$$C=2\pi a [1 - (1/2)^2 (\frac{c}{a})^2 - ({1\cdot 3}/{2\cdot 4})^2{c^4}/{3a^4} - ({1\cdot 3\cdot 5}/{2\cdot 4\cdot 6})^2{c^6}/{5a^6}-...]$$
可以写成:
$$C = 2\pi a \sum_{n=0}^{\infty} { - [\prod_{m=1}^n ({2m-1}/{2m})]^2 {c^{2n}}/{a^{2n}(2n - 1)}}$$
距离c 叫做椭圆的线性离心率,等于从中心到任一焦点的距离
【理解黎曼几何】6. 曲率的计数与计算(Python)
By 苏剑林 | 2016-10-19 | 48106位读者 | 引用曲率的独立分量
黎曼曲率张量是一个非常重要的张量,当且仅当它全部分量为0时,空间才是平直的。它也出现在爱因斯坦的场方程中。总而言之,只要涉及到黎曼几何,黎曼曲率张量就必然是核心内容。
已经看到,黎曼曲率张量有4个指标,这也意味着它有$n^4$个分量,$n$是空间的维数。那么在2、3、4维空间中,它就有16、81、256个分量了,可见,要计算它,是一件相当痛苦的事情。幸好,这个张量有很多的对称性质,使得独立分量的数目大大减少,我们来分析这一点。
首先我们来导出黎曼曲率张量的一些对称性质,这部分内容是跟经典教科书是一致的。定义
$$R_{\mu\alpha\beta\gamma}=g_{\mu\nu}R^{\nu}_{\alpha\beta\gamma} \tag{50} $$
定义这个量的原因,要谈及逆变张量和协变张量的区别,我们这里主要关心几何观,因此略过对张量的详细分析。这个量被称为完全协变的黎曼曲率张量,有时候也直接叫做黎曼曲率张量,只要不至于混淆,一般不做区分。通过略微冗长的代数运算(在一般的微分几何、黎曼几何或者广义相对论教材中都有),可以得到
$$\begin{aligned}&R_{\mu\alpha\beta\gamma}=-R_{\mu\alpha\gamma\beta}\\
&R_{\mu\alpha\beta\gamma}=-R_{\alpha\mu\beta\gamma}\\
&R_{\mu\alpha\beta\gamma}=R_{\beta\gamma\mu\alpha}\\
&R_{\mu\alpha\beta\gamma}+R_{\mu\beta\gamma\alpha}+R_{\mu\gamma\alpha\beta}=0
\end{aligned} \tag{51} $$
科学空间相册上线,与你分享科学图片
By 苏剑林 | 2009-11-14 | 13911位读者 | 引用百科翻译:氢氧化钠(NaOH)的详细介绍
By 苏剑林 | 2009-07-08 | 54244位读者 | 引用对于我们来说,维基百科是一个难得的资料库,但是与其英文版相比,中文版就相形见绌了,就好像本文中所讲的氢氧化钠,在中文版的资料为http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=NaOH&variant=zh-cn;而在英文版的资料为http://en.wikipedia.org/wiki/NaOH 可见英文版本是多么丰富。为了使大家能够更多地了解到科学,笔者特地翻译了一些英文版的维基百科中一些资料。
微积分学习(一):极限
By 苏剑林 | 2009-08-16 | 24063位读者 | 引用本文不是微积分教程,而是发表自己学习中的一些看法,以及与同好们讨论相关问题。
拿起任何一本“微积分”教程,都可以看见那专业而严格的数学语言,因此很多人望而生畏。的确,由于牛顿和莱布尼茨创立的微积分是不严格的,因此引发了第二次数学危机。经过法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯的努力,使得微积分有了前所未有的严密化,克服了第二次数学危机。加之后来的第三次数学危机,数学就更加严密了。
但是对于初学者,严密化的微积分令人十分费解。因此,我们不妨按照微积分的创立顺序,即“不严密——严密”的顺序来学习。这样不仅能够让我们更高效率地学习,而且增加学习数学的兴趣。
行星的逆行,顺行和留(计算公式)
By 苏剑林 | 2010-04-18 | 55810位读者 | 引用关于自由落体公式的简单修正
By 苏剑林 | 2010-04-04 | 59741位读者 | 引用自由落体的一般定义是:只考虑吸引天体和被吸引天体的引力因素,忽略其他的运动和大气摩擦等因素,物体从静止(相对于吸引天体)开始接近吸引天体的运动。根据这个定义,假设地球为一个均匀球体,半径为r,质量为M,物体从距离地表h高度处自由落下。求落到地面的时间t,或者根据时间t求h。
令s为t时刻物体左右下落的物体与地表的距离,忽略物体的小质量,那么可以列出微分方程:
$$\frac{d^2 s}{dt^2}=-\frac{GM}{(r+s)^2}\tag{1}$$并且初始条件是$t=0,s=h,\dot{s}=v=0$
在实际应用中,我们不必求出这道微分方程的精确解,因为这个解极其麻烦,在之前曾经讨论过。我们只需要求出一个有足够精确度的近似解就行。
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