科学空间|Scientific Spaces

七月再次“农忙”，农村里要插秧了，播下种苗，等待再次收获的季节^_^

我一直觉得我的数学能力偏向于分析计算而不擅长于几何，纵使遇到几何问题，也是满脑子的解析几何做法，没有纯几何的美。而这几天为了加强数学竞赛题目的能力，我一直在看IMO的题目，并且企图独立做出一些题目，但都无果。我比较感兴趣的是不等式，我感觉一道简单的式子，不用太多的文字就可以讲清楚的题目非不等式莫属，但是IMO的不等式题实在高深，我还没有能够独立做出一道来（参考答案可以看懂，只是想不到思路），或许是我在努力追求统一的方法而不肯研究那些特定的技巧的原因吧。不料今天看了一下2001年IMO的几何题目，发现我可能将它做出来，于是研究了一会，最终很幸运地做了出来。虽然不是最简单的方法，但也与大家分享一下。

IMO-42-1

如图，O是锐角三角形ABC的外心，AP是三角形的垂线段，∠B-∠C不小于30°。证明∠BAC+∠BOP < 90°

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本文将再次谈到对称这个话题，不过这一次的对象不是“等式”，而是“不等式”。

在数学研究中，我们经常会遇到各种各样的函数式子，其中有相当一部分是“对称”的。什么是对称的函数呢？对称有很多种说法，但是针对于多元对称式，我们的定义为满足$f(x_1,x_2,...,x_n)=f(y_1,y_2,...,y_n)$的函数，其中$(y_1,y_2,...,y_n)$是$(x_1,x_2,...,x_n)$的任意一个排列。通俗来讲，就是将式子中任意两个未知数交换位置，得到的式子还是和原来的式子一样。例如$\sin x+\sin y$，把$x,y$交换位置后得到$\sin y+\sin x$，还是和原来的一样；再如$xy+yz+zx$，将y,z互换后可以得到$xz+zy+yx$，结果还是和原式一样；等等。有些对称的函数是一个n次的多项式，那么就叫它为n次对称多项式，上边的例子$xz+zy+yx$就是一个三元二次对称多项式。

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九月三日BoJone和九个同学到云浮参加了今年广东省的数学竞赛预赛，那一起出发、玩笑、作战、吃饭的情景依然历历在目，让我久久不能忘怀。是呀，能够并肩作战的感觉真好！九日数学成绩出来了，遗憾的是今年政策改变了，我被告知整个市只有三个名额能够参加复赛，于是新兴只有我一个人进入了复赛（另外两个据说是罗定的，我们三个并列第一）。有点无语，我想，大概是要把那些为了功利而参赛的人都给刷下去吧...

今年广东的预赛题前所未有的简单，不论是和全国其他地方相比还是和上一年的题目相比，都简单了不少，但我还是做得不大理想，据我估计，120分的卷子我顶多能够拿个68分，所以BoJone的基本技能实在不容乐观。从云浮考试回来后，和同行的同学讨论试题，得出了一些很有趣的结果，那过程可谓其乐无穷呀！下面是倒数第二题预赛题的几个绝妙解法，供大家欣赏。解法由我和伍泽麒（人称“兔子、神兔”，人如其名，天资聪颖，性格可爱）完成。

题目：

在一条线段中随意选取两个点，把这条线段截成三段，求这三段线段能够组成一个三角形的概率。

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量子力学中有一个很诡异的函数——Dirac函数，它似乎在物理的不少领域都有很大作用，它也具有明显的物理意义，但认真地看它却又感觉它根本就不是函数！这个“似而非是”的东西究竟是什么呢？让我们从一个物理问题引入：

设想一条质量为1，长度为$2l$的均匀直线，很显然直线的密度为$\rho=\frac{1}{2l}$；将直线的中点放置于坐标轴的原点，我们就有
$$\rho(x)=\left\{ \begin{array}{c}\frac{1}{2l} (-l \leq x \leq l)\\0 (x < -l , x > l)\end{array}\right.$$

所以有
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \rho(x)dx=1$$

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高考成绩出来了，不是很理想，不能进入很理想的高校。不过不管到了哪里，我都会一直延续我的科学梦，醉心于数学物理研究。昨天志愿填报也完成了，所以高考的事情暂时也告一段落了，接着就等通知了。

接下来的几篇文章可能会探讨一些有趣的轨迹问题，是和圆锥曲线有关的，它们基本都是在高考前两周的时间内完成的。先看最简单的一个，抛物线$y=x^2$内有一条定长为a的弦，求弦的中点轨迹，并探讨轨迹的最低点位置。

抛物线里边的定长弦

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这是在《200道物理学难题》中的第五道题，题目看起来没有什么特色，但是解法却非常巧妙：

四只蜗牛在做匀速直线运动（速度各不同），它们的运动轨迹是两两相交的直线，但是没有三条直线交于一点，也就是说他们的轨迹有六个交点。在它们之间，已经发生了五次相遇，问第六次相遇是否一定发生？换句话说，有没有可能只发生五次相遇的？

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===聊聊天===

上个月在网上买了三本相对论教材和一本《量子力学概论》，本打算好好研究下相对论的数学体系，可是书到了之后，我却深深地被量子力学吸引住了，不停在研读。而且在研究量子力学的同时，我的线性代数和微分方程知识也增加了不少，这确实是我没有想到的。在我看来，不管是狭义相对论还是广义相对论，它本质上都是一种几何理论，你总要想象从一个参考系观测会发生什么，然后从另外一个参考系又会看到什么；而量子力学虽然对我来讲一切都是新鲜的，但是它的数学性比较强，主要是微分方程的求解和理解。我想这也是我对量子力学更感兴趣的原因吧，因为我善于代数而不善于几何。

量子力学中让我最神往的内容莫过于费曼所发明的路径积分形式。资料记载费曼用他发明的方法在一个晚上就算出了别人几个月才算出来的结果，可见路径积分形式的优越性。当然，我也清楚，这个路径积分并不简单，它涉及到了泛函积分这一非常高深的内容，对于我这个连数学分析都还没有学好的小孩来说，泛函是难以触摸的。不过，我还是尽量想办法向它靠近。为此，我还浏览到了一些不少让人兴奋的内容，比如薛定谔的方程的推导、力学-光学类比、雅可比方程等等。

很遗憾，在正统的量子力学教材中，这些让我很兴奋的内容却鲜有涉及，有的话大多数都是一笔带过的感觉。多数量子力学不会讲到路径积分，就算有也只是作为附录。对于薛定谔方程的推导，也没有涉及到。这也让我养成了一个习惯意识：书本最有趣的东西往往都是在附录。所以对于教科书，那么写得正正式式的内容我一概没有兴趣，那些附录内容才是我最喜欢读的。可是，那些让人兴奋的内容却不一定是很难的，就像下面的薛定谔方程的启发式推导，它不仅不难，而且易于理解。

===薛定谔方程===

在量子力学诞生之前，科学家已经通过实验发现光既有波动性也有粒子性，而德布罗意提出也同时具有波动性和粒子性，这些都奠定了量子力学的基础。根据量子论，一个光子的能量可以由$E=h\nu=\hbar (2\pi \nu)$，其中$\nu$是频率，$\hbar=\frac{h}{2\pi}$，h是普朗克常数，习惯记$\omega=2\pi \nu$，即$E=\hbar \omega$。

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在学校使用校园网时，是很容易访问到华师内部的各个网站的，比如教务系统、图书馆电子资源等，但是如果使用校外网或者是在家时就不那么容易了。另外一种情况是，期末同学回家了，很想早点知道成绩，一般我们会上http://jwc.scnu.edu.cn查询，这个网站在校内校外都可以登陆，但是通常来说为了成绩的录入，会把成绩查询功能关闭掉一段时间，事实上，大部分的成绩都已经录入了。在校园网时，心急的朋友可以访问http://222.201.93.5:211来查询，可是这个网址在校外是不能用的。VPN通道就是为这些校外需求而开通的。

使用方法很简单，打开
https://121.8.171.37/

输入校园卡的账号密码登陆就行了。登录后就会出现校内网的各种链接，包括图书馆资源、教务系统等等。

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