对称多项式不等式的“物理证明”

本文将再次谈到对称这个话题，不过这一次的对象不是“等式”，而是“不等式”。

在数学研究中，我们经常会遇到各种各样的函数式子，其中有相当一部分是“对称”的。什么是对称的函数呢？对称有很多种说法，但是针对于多元对称式，我们的定义为满足$f(x_1,x_2,...,x_n)=f(y_1,y_2,...,y_n)$的函数，其中$(y_1,y_2,...,y_n)$是$(x_1,x_2,...,x_n)$的任意一个排列。通俗来讲，就是将式子中任意两个未知数交换位置，得到的式子还是和原来的式子一样。例如$\sin x+\sin y$，把$x,y$交换位置后得到$\sin y+\sin x$，还是和原来的一样；再如$xy+yz+zx$，将y,z互换后可以得到$xz+zy+yx$，结果还是和原式一样；等等。有些对称的函数是一个n次的多项式，那么就叫它为n次对称多项式，上边的例子$xz+zy+yx$就是一个三元二次对称多项式。

对称有什么好处？ #

BoJone已经在之前的一些文章中提到过“对称”有助于我们最初解答，例如对称的物理系统中比较容易求出首次积分，诺特定理也告诉我们物理系统的对称对应着守恒定律。当然，这些说法都是很抽象的，只有学习到了理论物理知识才会有比较深的体验。那么对于我们来说，对称能够帮助我们什么呢？这里仅仅举一个例子：多项式展开。

例如我们要展开$(a+b+c)^3$，除了按照四则运算按部就班地算外，我们还有一个办法：待定系数法，这也是计算机代数证明中用到的方法。我们知道$(a+b+c)^3$的展开式中必定会有$a^3,b^3,c^3$这三项，而且由于$(a+b+c)^3$是对称的式子，换句话说，$a,b,c$的“地位”是等价的，因此$(a+b+c)^3$的展开式中必定会有一部分是这个形式的：$\lambda_1 (a^3+b^3+c^3)$；接下来我们又可以想$(a+b+c)^3$的展开式中必定会有$a^2 b$这一项，同时还有$a^2 c,b^2 a, b^2 c, c^2 a, c^2 b$这五项，我们不应该着眼于这些项的$a,b,c$字母，而是看出它们的本质：它们都是其中一个未知数的平方乘上另外一个未知数，于是这六项的地位也是等价的，于是$(a+b+c)^3$的展开式中必定会有$\lambda_2 (a^2 b+a^2 c+b^2 a+b^2 c+c^2 a+c^2 b)$。最后一项是$\lambda_3 abc$，于是我们知道：

$$\begin{equation}\begin{aligned}&(a+b+c)^3 \\ =&\,\lambda_1 (a^3+b^3+c^3)+\lambda_2 (a^2 b+a^2 c+b^2 a+b^2 c+c^2 a+c^2 b)+\lambda_3 abc\end{aligned}\end{equation}$$

究竟$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$是多少，我们只需要将三组数据代入就可以得到具体数值，这是一道三元一次方程组。试想，要是$a,b,c$是不对称的，那么我们就得给上面的每一项都设置一个未知的系数（共有10项），代入具体数据，然后我们就会得到一道十元一次方程组。可见，对称性让我们大大减少了计算量。其实对称的好处还有很多，不妨再往下看？

对称不等式 #

对了准备即将来临的数学竞赛，BoJone还算深入地研究了一下不等式的证明，尤其是$n$次对称不等式。我们发现，数学竞赛中对称不等式的证明是比较多的。例如已知非负数$x,y,z$满足$x+y+z=1$，在1984年的IMO上要我们证明
$$\begin{equation}0 \leq xy+yz+zx-2xyz \leq \frac{7}{27}\end{equation}$$
在去年的广东省数学竞赛预赛题中也有类似的题目，它要我们证明：
$$\begin{equation}9xyz \leq xy+yz+zx \leq \frac{1}{4} (1+9xyz)\end{equation}$$

在第41届IMO中，已知xyz=1，要我们证明
$$\begin{equation}\left(x-1+\frac{1}{y}\right)\left(y-1+\frac{1}{z}\right)\left(z-1+\frac{1}{x}\right) \leq 1\end{equation}$$
还有类似的
$$\begin{equation}\frac{1}{\sqrt{1+8x}}+\frac{1}{\sqrt{1+8y}}+\frac{1}{\sqrt{1+8z}} \geq 1\end{equation}$$

简单的例子还有我们常见的平均不等式$x^3+y^3+z^3-3xyz \geq 0$等。例子还有很多，就不一一列举了。下面介绍一种不等式的“物理证明”。一般来看，它不是一种很好的证法，甚至可以说是一种“丑陋的证明”，但是却是一种在许许多多情况下行之有效的办法。

统一量纲 #

现在我们把所有的未知数看成是具有长度量纲的量，而所有的常数看成是零量纲的量。在数学上经常看到诸如$a-1$的式子，但是在物理中是绝不能出现的，因为这意味着一个有量纲的量减去无量纲的量，这是不成立的。而我们注意到在上面的一些例子中，如$4(xy+yz+zx)-9xyz \leq 1$，左端是“长度的平方和，减去长度的立方”，右端是零量纲，这显然是不成立的。于是我们要“统一量纲”，怎么统一呢？利用已知条件$x+y+z=1$，令
$$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
x=\frac{a}{a+b+c}\\y=\frac{b}{a+b+c}\\
z=\frac{c}{a+b+c}
\end{aligned}\right.\qquad(a,b,c\text{是任意正数})\end{equation}$$
代入就得到：
$$\begin{equation}4(a+b+c)(ab+bc+ca)-9abc \leq (a+b+c)^3\end{equation}$$
这样我们必须证明上式对于任意$a,b,c$都成立，可以发现，上式每一项都具有长度的立方的量纲。

要是已知条件是$xyz=1$那该怎么办呢？我们可以令$x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c},z=\frac{c}{a}$或$x=\frac{a^2}{bc},y=\frac{b^2}{ac},z=\frac{c^2}{ab}$等等。对于证明不等式，“统一量纲”往往是有效的一步，虽然它未必是必须的或者最简单的。

对称“破缺” #

这是本文的核心所在！对称的系统解法相对简单，是因为我们有一个“终极武器”——通过变换让对称的系统变得不对称，往往会化简问题。还记得我们当初是怎样求解二次方程的吗？已知$xy=p,x+y=q$，这是一个对称的系统，我们让$x=a+b,y=a-b$，变成不对称的$a^2-b^2=p,2a=q$，问题并没有变复杂，反而解答更容易了。不等式中也有类似的方法。

例如，要证明$4(a+b+c)(ab+bc+ca)-9abc \leq (a+b+c)^3$，这里的$a,b,c$的地位是等价的，我们让它变得不等价，不妨设$ a \geq b \geq c$，为了进一步显示出三者的地位不等，我们可以设
$$\begin{equation}b=c+u,a=b+v=c+u+v\end{equation}$$
其中$u,v$均不小于0.

代入到$(a+b+c)^3-4(a+b+c)(ab+bc+ca)+9abc$中去，会得到什么呢？展开后我们会有：
$$\begin{equation}\begin{aligned}(3c+2u+v)^3 \\ -4(3c+2u+v)[(c+u+v)(c+u)+(c+u)c+(c+u+v)c] \\ +9(c+u+v)(c+u)c \\ =v^3+2uv^2+cv^2+cuv+cu^2\end{aligned}\end{equation}$$

可见，每一项都是非负的，因此不等式成立。这里是不对称多项式展开，过程显得非常麻烦，我已经强调过，这不会是一种漂亮的证明方法。

再举另外一个例子，证明$a^3+b^3+c^3-3abc \geq 0$，就是要展开
$(c+u+v)^3+(c+u)^3+c^3-3(c+u+v)(c+u)c$，得到
$$\begin{equation}3 c u^2+3 c u v+3 c v^2+2 u^3+3 u^2 v+3 u v^2+v^3\end{equation}$$
显然这个式子非负，因此不等式成立。

尾音 #

本文是BoJone研究不等式的结果，当然这也不是什么新鲜的玩意儿，只是在这里稍作记录，希望能够对大家有帮助。本文采取了物理的一些名称来讲述，原因是BoJone本身是一个物理爱好者，同时也觉得物理数学本身是不分家的，用物理来理解数学，有时能够达到漂亮的效果！^_^当然本文只涉及到了不等式证明的冰山一角，而且由于计算量比较大，顶多只能算一个“机器证明”，对于次数比较高的情况，计算量会非常大，不适合使用。

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