28
May
科学空间：2011年6月重要天象
By 苏剑林 | 2011-05-28 | 22866位读者 | 引用
月全食-201106160340
6月中下旬，是北半球一年中黑夜最短的时期。今年6月22日是夏至节气，以北纬40°地区为例，当天天文昏影终到次日天文晨光始的间隔只有不到4小时50分钟。黑夜短暂会使我们可用于天文观测的时间缩短。但在夏至前后，午夜时分太阳也会在地平线下不太低的位置，这样我们就有可能整夜观测到一些类似国际空间站这样的低轨道人造天体。有兴趣的朋友可以查询相关的过境预报，挑战在一晚可以观测到多少次国际空间站过境这类的观测项目。发生在六月的日偏食和月全食，是今年天象的重头戏。接下来笔者就日偏食讲起，跟大家聊聊发生在6月的天象。
5
Mar
科学空间：2011年3月重要天象
By 苏剑林 | 2011-03-05 | 25907位读者 | 引用几颗经典行星，将成为3月星空剧场的主角。其中难得一见的水星将迎来一次观测条件很好的东大距，而到了下旬，土星也几乎整夜可见。随着落下时间的逐渐提前，木星的观测条件正逐渐变差。作为晨星的金星升起的时间也正不断推迟，我们将越来越难观测到它的身影。
天象大观
01日 11:40 金星合月: 1.7° S
11日 12:35 月合昴宿星团: 1.8° N
16日 04:16 水星合木星: 2° N
21日 07:21 春分
21日 19:00 月合角宿一: 2.5° N
21日 19:54 天王星合日
23日 08:59 水星大距: 18.6° E
31日 21:25 金星合月: 6.6° S
4
Apr
科学空间：2011年4月重要天象
By 苏剑林 | 2011-04-04 | 22957位读者 | 引用我们在研究地球附近的小天体运动时，如果把天体和地球看作一个二体系统，那最多只能算上一个零级近似，如果使用“地球+月球+小天体”组成的圆形限制性三体问题模型，那可以算上一个二级近似了。那么，一级近似又是什么了。BoJone认为，它就是本文将要讲的“双固定引力中心问题”了，也叫“双不动中心问题”，英文名是two fixed-center problem。这是一种特殊的限制性三体问题。在这个三体系统中，两个主天体（或称有限质量天体）固定不动，第三个小天体在两个固定的主天体吸引下运动。欧拉、拉格朗日、勒让德、雅可比等人很早就研究过这个问题。其中，欧拉最先成功地求出了这个系统的积分。[引用]
另外，双固定引力中心问题还有另外一个应用，在研究人造卫星的运动时，可以只考虑地球引力，但是由于地球不是完美的球体，把其看成一个质点其实不十分精确，要是把它拆分为两个引力源，就可以很大程度上提高精确度。毕竟双固定引力中心问题是完全可以积分的，可以作为一个比较好的中间轨道（介乎圆锥曲线和精确轨道之间的）。
看完了“双不动中心”问题，我们不妨再来看一个貌似简单一点的力学问题，在一个固定质点的引力吸引的基础上，增加一个恒力作用，研究这样的力场中小天体的运动。
咋看上去这个问题比“双不动中心”简单多了，至少运动方程也显得更简单：
$$\ddot{vec{r}}=-GM\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3}+\vec{F}$$
其中$\vec{F}$是一个常向量。不过让人比较意外的是，这个问题本质上和“双不动中心”是一样的，它可以看作是双不动中心问题的一个极限情况。而且它们的解法也是惊人地相似，下面我们就来分析这一个过程。
首先很容易写出这个方程的能量守恒积分：
$$1/2 \dot{vec{r}}^2-GM\frac{1}{|\vec{r}|}-\vec{F}\cdot \vec{r}=h$$
6
Jul
科学空间：2011年7月重要天象
By 苏剑林 | 2011-07-06 | 19855位读者 | 引用
8
Jul
均匀球状星团内恒星的运动
By 苏剑林 | 2011-07-08 | 15099位读者 | 引用我们考虑一个球状的星团，并假设它是各向同性的，即距离球心r处的物质密度ρ只与r有关，ρ=ρ(r)。那么，在半径为r的球形区域内的总质量为：
$$M(r)=\int_0^r 4\pi x^2 \rho(x) dx$$
想象有一颗质量比较小的恒星（其实相对于星团总质量，每一颗恒星的质量都很小）在星团的引力作用下运动（就好像太阳系绕着银河系运动一样），且恒星并没有受到其他物质（如星际尘埃等）的阻力。我们之前已经证明过，各向同性的球壳内部的引力是为0的，那么这种情况下的运动就相当于恒星只受到它到球心处的一个球形区域内的质量的引力吸引。根据万有引力定律，选择星团球心为参考系，可以得出
$$\ddot{\vec{r}}=-GM(r)\frac{\vec{r}}{r^3}$$
30
Jul
IMO42-1，我也会做几何题
By 苏剑林 | 2011-07-30 | 24278位读者 | 引用七月再次“农忙”，农村里要插秧了，播下种苗，等待再次收获的季节^_^
我一直觉得我的数学能力偏向于分析计算而不擅长于几何，纵使遇到几何问题，也是满脑子的解析几何做法，没有纯几何的美。而这几天为了加强数学竞赛题目的能力，我一直在看IMO的题目，并且企图独立做出一些题目，但都无果。我比较感兴趣的是不等式，我感觉一道简单的式子，不用太多的文字就可以讲清楚的题目非不等式莫属，但是IMO的不等式题实在高深，我还没有能够独立做出一道来（参考答案可以看懂，只是想不到思路），或许是我在努力追求统一的方法而不肯研究那些特定的技巧的原因吧。不料今天看了一下2001年IMO的几何题目，发现我可能将它做出来，于是研究了一会，最终很幸运地做了出来。虽然不是最简单的方法，但也与大家分享一下。
IMO-42-1
如图，O是锐角三角形ABC的外心，AP是三角形的垂线段，∠B-∠C不小于30°。证明∠BAC+∠BOP < 90°
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