薛定谔方程的启发式推导

===聊聊天===

上个月在网上买了三本相对论教材和一本《量子力学概论》，本打算好好研究下相对论的数学体系，可是书到了之后，我却深深地被量子力学吸引住了，不停在研读。而且在研究量子力学的同时，我的线性代数和微分方程知识也增加了不少，这确实是我没有想到的。在我看来，不管是狭义相对论还是广义相对论，它本质上都是一种几何理论，你总要想象从一个参考系观测会发生什么，然后从另外一个参考系又会看到什么；而量子力学虽然对我来讲一切都是新鲜的，但是它的数学性比较强，主要是微分方程的求解和理解。我想这也是我对量子力学更感兴趣的原因吧，因为我善于代数而不善于几何。

量子力学中让我最神往的内容莫过于费曼所发明的路径积分形式。资料记载费曼用他发明的方法在一个晚上就算出了别人几个月才算出来的结果，可见路径积分形式的优越性。当然，我也清楚，这个路径积分并不简单，它涉及到了泛函积分这一非常高深的内容，对于我这个连数学分析都还没有学好的小孩来说，泛函是难以触摸的。不过，我还是尽量想办法向它靠近。为此，我还浏览到了一些不少让人兴奋的内容，比如薛定谔的方程的推导、力学-光学类比、雅可比方程等等。

很遗憾，在正统的量子力学教材中，这些让我很兴奋的内容却鲜有涉及，有的话大多数都是一笔带过的感觉。多数量子力学不会讲到路径积分，就算有也只是作为附录。对于薛定谔方程的推导，也没有涉及到。这也让我养成了一个习惯意识：书本最有趣的东西往往都是在附录。所以对于教科书，那么写得正正式式的内容我一概没有兴趣，那些附录内容才是我最喜欢读的。可是，那些让人兴奋的内容却不一定是很难的，就像下面的薛定谔方程的启发式推导，它不仅不难，而且易于理解。

===薛定谔方程===

在量子力学诞生之前，科学家已经通过实验发现光既有波动性也有粒子性，而德布罗意提出也同时具有波动性和粒子性，这些都奠定了量子力学的基础。根据量子论，一个光子的能量可以由$E=h\nu=\hbar (2\pi \nu)$，其中$\nu$是频率，$\hbar=\frac{h}{2\pi}$，h是普朗克常数，习惯记$\omega=2\pi \nu$，即$E=\hbar \omega$。

同时，光子也具有动量，其大小为$p=\frac{h}{\lambda}=\hbar k$，其中$k=\frac{2\pi}{\lambda}$。这些性质在波和粒子之间是可以通用的，因为它们的波粒二象性。

对于最简单的一维简谐波，我们可以将它的方程写成$y=Acos(kx-\omega t)$。我们可以这样理解它，在$t=t_0$时刻，波的形状为$y=Acos(kx-\omega t_0)$，在$x=x_0$的位置，波幅按$y=Acos(kx_0-\omega t)$规律变化。为了数学处理的方便，我们要把波改成复数形式，延伸为二维波，即$y=Ae^{i(kx-\omega t)}$，可见其实数部分就是一维简谐波的方程。

由于实物粒子具有波动性，那么我们就应该给粒子一个波动方程，我们以最简单的简谐波形式来考虑，即$\Psi(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}$。下面的过程是显然的：

$$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-i\omega \Psi \\ \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-i\hbar \omega \Psi=-i E \Psi \\ i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=E \Psi \end{eqnarray*}$$

类比经典力学的，考虑保守系统，有“能量=动能+势能”，即$E=T+U=\frac{P^2}{2m}+U=\frac{{\hbar}^2 k^2}{2m}+U$。所以上式变成：
$$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=(\frac{{\hbar}^2 k^2}{2m}+U)\Psi$$

其中：
$$\frac{\partial \Psi}{\partial x}=ik \Psi,\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}=-k^2 \Psi$$

代入就得到：
$$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2 }{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+U\Psi$$

这就是薛定谔方程，是一道线性偏微分方程。

有些敏感的读者会发现，从$\frac{\partial \Psi}{\partial x}=ik \Psi$可以直接得到$k^2=-\frac{1}{\Psi^2}(\frac{\partial \Psi}{\partial x})^2$，然后代入就得到：

$$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{{\hbar}^2 }{2m}\frac{1}{\Psi}(\frac{\partial \Psi}{\partial x})^2+U\Psi$$

难道这一道也是薛定谔方程的等价形式？

当然不是，由于我们上面的是“启发式引导”，因此我们考虑的是最简单的简谐波，所以才得到不同的形式。不过由傅里叶级数的知识可以知道，再复杂的波也可以用频率不同的简谐波叠加而成，因此我们得到的方程必须满足“两个解叠加之后还是原方程的解”，也就是说，只有线性形式的薛定谔方程
$$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{{\hbar}^2 }{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+U\Psi$$

才是正确的量子力学波动方程。说白了，就是说波动方程必须是线性的。

===总结一下===

很明显，上面只是一种形式和数学的处理，我们还没有赋予它物理意义，比如波函数的具体意义等都还没有给出，而且结果的正确性还有待检验。这并不属于严格推导，所以我强调是启发性的思考。但是量子力学教程告诉我们，这是正确的。对于量子力学入门来说，这也足够了。读者也应该清楚，这个过程并不难，甚至有点出乎意料的简单了。不过我还没有发现哪本量子力学教材提到过，它们都去缺乏这些创意性的、启发性的思考，而充满了复杂的分析计算。也许是我读的书太少了吧。又或者是每个人的学习思路都不同吧，我只是觉得，虽然不是每个人都可以学好量子力学，但每个人都可以学一些量子力学的。

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