费曼积分法——积分符号内取微分(1)

似乎有好久都没有写文章感觉，高考结束了，继续研究。先总结一下考前的一些结果。

这个文章讲的是一个叫“积分符号内取微分”东西，这是一个很有趣而且有用的求定积分的方法。在这里我又擅自把它叫做“费曼积分法”，因为我是从费曼的自传《别闹了，费曼先生》中看到这种方法的。当然，费曼不是这个方法的首创者，他仅仅是是喜欢、熟练这种方法，并将它记载在了自传中。具体情况是怎样的呢？我先不多说，请读者直接看《别闹了，费曼先生》中的情节。

别闹了费曼先生.txt

情节一：跟数学家抬杠（P73）

那本书还教你如何对积分符号内的参数求微分。后来我发现，一般大学课程并不怎么教这个技巧，但我掌握了它的用法，往后还一再地用到它。因此，靠着自修那本书，我做积分的方法往往与众不同。

结果经常发生的是，我在麻省理工或普林斯顿的朋友被某些积分难住，原因却是他们从学校学来的标准方法不管用。如果那是围道积分或级数展开，他们都懂得怎么把答案找出；现在他们却碰壁了。这时我便使出“积分符号内取微分”的方法——这是因为我有一个与众不同的工具箱。当其他人用光了他们的工具，还没法找到解答时，便把问题交给我了！

那本书指的是伍兹（woods）著的《高等微积分学》，是费曼的高中物理老师给他看的，因为费曼在课堂上总爱捣蛋。从这段描述可以看出这种方法是一个“独门秘笈”，往往出其不意、攻其不备！看到这里，我就深深被这个方法吸引了，于是下定决心要学会它。

情节二：原子弹外传（P96）

不过我的运气往往很好，当他们向我解释碰到的困难时，我会冲口说出：“为什么不试试积分符号内取微分的方法？”在半小时后，他们忙了３个月的问题居然就这样解决了。因此，靠着我那与众不同的数学工具，我也作出小小的贡献。从芝加哥回来以后，我向大家报告：实验中释放出多少能量，原子弹将会是什么样子等等。

看，费曼总是像个小飞侠一样，让人啧啧称奇于他的天才！我想，这跟他善于学习各种各样的方法、然后浓缩为思想的精华加以利用是分不开的。

情节三：接受挑战（P183）

有一次我夸口：“其他人必须用围道积分法来计算的积分，我保证能用不同方法找出答案。”

于是奥伦便提出一个精彩绝伦、该死的积分给我。他从一个他知道答案的复变函数开始，把实部拿掉，只留下虚部，结果成为一道非用围道积分法不可的题目！他总是让我泄气得很，是个很聪明的人。

这里“围道积分法”指的是用复分析的方法来求实积分，也是一种很好的方法，但费曼说他“始终没有学会”围道积分。由此可见，“费曼积分法”不是万能！但是这也更让我有了接受挑战的冲动和决心！

我喜欢一些技巧性的东西，因为着实有趣，但是不仅仅当它它技巧来玩弄，而是研究它，想办法去拓宽他，试图将它变成一种研究的思想和方法。“费曼积分法”正是一个如此有趣的东西。为了求一个函数的定积分，我们先对它以一个参数求导，然后再以不同变量积分两次。这样把直接的积分程序变成了“求导——积分——积分”三个步骤，貌似有点化简为繁，但是正因为这样操作，达到了意想不到的效果！在BoJone看到，这是一种“先弃后取”、“欲擒故纵”的战术，自然会妙笔生花！

文字就不多说了，具体来看实例：

求积分：$F(a)=\int_0^1 \frac{x^a-1}{ln x}dx$

对a求导：
$$\begin{aligned}\frac{d F(a)}{da} \\ =\int_0^1 \frac{\partial(\frac{x^a-1}{ln x})}{\partial a}dx\end{aligned}$$

由于后边只是对a求导，把x看成常数，把a看作自变量，因为$\frac{\partial x^a }{\partial a}=x^a ln x$，所以我们得到（积分）

$$\begin{aligned}\frac{d F(a)}{da}=\int_0^1 x^a dx \\ =\frac{1}{1+a} x^{a+1} |_0^1=\frac{1}{1+a}\end{aligned}$$

所以（再积分）：$F(a)=\int \frac{1}{1+a}da=ln(a+1)+C$

这里有一个常数C，需要通过一个特例来确定它。当a=0时，原积分变成
$$F(0)=\int_0^1 \frac{1-1}{ln x}dx=\int_0^1 0dx=0$$

即$0=ln(0+1)+C$，所以C=0，换言之：
$$\int_0^1 \frac{x^a-1}{ln x}dx=ln (a+1)$$

这个例子基本包含包含了“费曼积分法”的所有程序。可以发现，通过这样绕来绕出，居然让我们轻松地得出了正确答案。这就是“化简为繁”带来的好处！亲爱的读者们，如果你们还没有弄清过程，那么请再细细阅读一下这个例子，相信你会有所收获的！如果你还觉得意犹未尽，那么在下一篇文章里，BoJone将会和你更详细地探讨关于“费曼积分法”的细节。

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