数学竞赛广东预赛|组成三角形的概率

九月三日BoJone和九个同学到云浮参加了今年广东省的数学竞赛预赛，那一起出发、玩笑、作战、吃饭的情景依然历历在目，让我久久不能忘怀。是呀，能够并肩作战的感觉真好！九日数学成绩出来了，遗憾的是今年政策改变了，我被告知整个市只有三个名额能够参加复赛，于是新兴只有我一个人进入了复赛（另外两个据说是罗定的，我们三个并列第一）。有点无语，我想，大概是要把那些为了功利而参赛的人都给刷下去吧...

今年广东的预赛题前所未有的简单，不论是和全国其他地方相比还是和上一年的题目相比，都简单了不少，但我还是做得不大理想，据我估计，120分的卷子我顶多能够拿个68分，所以BoJone的基本技能实在不容乐观。从云浮考试回来后，和同行的同学讨论试题，得出了一些很有趣的结果，那过程可谓其乐无穷呀！下面是倒数第二题预赛题的几个绝妙解法，供大家欣赏。解法由我和伍泽麒（人称“兔子、神兔”，人如其名，天资聪颖，性格可爱）完成。

题目：

在一条线段中随意选取两个点，把这条线段截成三段，求这三段线段能够组成一个三角形的概率。

题目很容易看明白，答案也很简单，是1/4。这种题目常规的思路是线性规划，但线性规划是一种代数思想，属于解析几何的范畴。而1/4这个答案是如此简洁，甚至让我们感到线性规划做法过于“丑陋”了，我们应该寻找到更简明、更直接的思路，并希望能向纯几何思路靠拢。正是因为这一思想，下面的三种解法诞生了。

一、圆形、对称思想

将所要截的线段首尾相连摆成一个圆，设A为连接点，并设另外两个截点为C和D，只要A、C、D不在同一个半圆内，就可以将圆拉直为ΔACD。如图，AB为直径，那么C、D必须被AB分隔开来，这样的概率是1/2（C、D同在AB下方的概率是1/4，上方亦然）。

在圆上任意选取一点C，则D的取值区域为劣弧BB'，同时可以找到对应的另外一点C'，使得D的不可取值区域为劣弧AA'，其中AC=BC',BB'=AA'，则在1/2概率中，能够组成三角形和不能够组成三角形的情况是一一对应的，那就说明它们的概率相等，即各占一半，于是能够组成三角形的概率为$P(\Delta)=1/2 \cdot 1/2 = 1/4$。

二、椭圆、圆思想

周长固定的三角形，固定其中两点，第三点随意运动，描绘出来的轨迹是一个椭圆。根据这个原理，我们分别以线段长度以及长度的一半作同心圆。设线段AD被截成了AB、BC、CD三段，令AB段与直径MN重合，其中点与O点重合。那么只有当C点在小圆内时，才可以找到对应的AB段组成一个三角形（找到相应的椭圆即可），当C点在小圆外大圆内时，无法找到AB段组成一个定周长的三角形。于是可以组成三角形的概率等于S_小圆/S_大圆=1/4.

三、三角坐标系思想

三角坐标系这个思想很具有代表性，不过它的思路来源倒不是数学，而是地理。的确，我第一次看到它的时候是在地理试卷，那种描述一个国家地区的幼年、中年、老年人口比例的图，这三个比例有一个特点，那就是它们的和等于1。而本文所探讨的三角形也有类似的性质：三边之和为定值。这就给了我一点启示。

如图，以线段长为边长作等边三角形ABC，并作如图所示的D、E、F点，可见PD+PE+PF=AB，且PD=AF，PF=CE，PE=BD。则要组成三角形，只需要满足任意两边之和大于第三边，也就是每一边都小于$1/2 AB$即可。从图中可以看出，只要AF、CE、BD有一边大于$AB/2$，那么P点必然落在了三角形GHI外，因此要组成三角形，P点必须在三角形GHI内，于是组成三角形的概率：
$$P(\Delta)=\frac{S_{\Delta GHI}}{S_{\Delta ABC}}=1/4$$

解法介绍完毕。

以上就是我们班同学在探讨题目过程中得出的三种解法，每一种解法都尽量靠近纯几何，并使思路尽可能地明显，在欣赏数学简洁美的同时，企图让大家觉得思路的必然性。当然，这只是冰山一角，希望经过抛砖而引出玉来。如果各位读者有更好的解法，欢迎交流。在此，科学空间祝大家中秋节快乐！

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