科学空间|Scientific Spaces

如果说Meta的LLAMA系列为Dense模型确立了标准架构，那么DeepSeek或许就是MoE标准架构的奠基者。当然，这并非指DeepSeek首创了MoE，也不是说它的MoE不可超越，而是指DeepSeek对MoE所提的一些改进，很可能都是效果增益比较显著的方向，从而逐渐成为MoE的标配。这其中，包括我们在《MoE环游记：3、换个思路来分配》介绍的Loss-Free负载均衡方案，还有本文将要介绍的Shared Expert、Fine-Grained Expert策略。

说到负载均衡，它无疑是MoE一个极为重要的目标，本系列的第2～4篇，可以说都在围绕着它展开。然而，已有读者逐渐意识到，这里边有个尚未回答的本质问题：抛开效率上的需求不谈，均匀分布就一定是效果最好的方向吗？本文就带着这个疑问，去理解Shared Expert、Fine-Grained Expert。

共享专家

让我们再次回顾MoE的基本形式
\begin{equation}\boldsymbol{y} = \sum_{i\in \mathop{\text{argtop}}_k \boldsymbol{\rho}} \rho_i \boldsymbol{e}_i\end{equation}

点击阅读全文...

在之前的《Muon优化器赏析：从向量到矩阵的本质跨越》、《Muon续集：为什么我们选择尝试Muon？》等文章中，我们介绍了一个极具潜力、有望替代Adam的新兴优化器——“Muon”。随着相关研究的不断深入，Muon优化器受到的关注度也在日益增加。

了解过Muon的读者都知道，Muon的核心运算是$\newcommand{msign}{\mathop{\text{msign}}}\msign$算子，为其寻找更高效的计算方法是学术社区的一个持续目标。本文将总结一下它的最新进展。

写在前面

$\msign$的定义跟SVD密切相关。假设矩阵$\boldsymbol{M}\in\mathbb{R}^{n\times m}$，那么
\begin{equation}\boldsymbol{U},\boldsymbol{\Sigma},\boldsymbol{V}^{\top} = \text{SVD}(\boldsymbol{M}) \quad\Rightarrow\quad \msign(\boldsymbol{M}) = \boldsymbol{U}_{[:,:r]}\boldsymbol{V}_{[:,:r]}^{\top}\end{equation}
其中$\boldsymbol{U}\in\mathbb{R}^{n\times n},\boldsymbol{\Sigma}\in\mathbb{R}^{n\times m},\boldsymbol{V}\in\mathbb{R}^{m\times m}$，$r$是$\boldsymbol{M}$的秩。简单来说，$\msign$就是把矩阵的所有非零奇异值都变成1后所得的新矩阵。

点击阅读全文...

自从DeepSeek爆火后，它所提的Attention变体MLA（Multi-head Latent Attention）也愈发受到关注。MLA通过巧妙的设计实现了MHA与MQA的自由切换，使得模型可以根据训练和推理的不同特性（Compute-Bound or Memory-Bound）选择最佳的形式，尽可能地达到效率最大化。

诚然，MLA很有效，但也有观点认为它不够优雅，所以寻找MLA替代品的努力一直存在，包括我们也有在尝试。然而，经过一段时间的实验，我们发现很多KV Cache相同甚至更大的Attention变体，最终效果都不如MLA。这不得不让我们开始反思：MLA的出色表现背后的关键原因究竟是什么？

接下来，本文将详细介绍笔者围绕这一问题的思考过程以及相关实验结果。

观察

MLA提出自DeepSeek-V2，本文假设读者已经熟悉MLA，至少了解之前的博客《缓存与效果的极限拉扯：从MHA、MQA、GQA到MLA》所介绍的内容，因此MLA自身的细节将不会过多展开。

点击阅读全文...

前两天，QQ群里有群友抛出了一道不等式求证：

一道概率相关的不等式，出自《There is no fast single hashing algorithm》

简短的题目，加上“easily”的提示，让人觉得这似乎是显然成立的结果，然而提问者却表示尝试了很久仍未果。那么实际情况如何呢？是否真的是显然成立呢？

初步尝试

题目等价于证
\begin{equation}\sum_{i=0}^j p^i \leq \sum_{i=0}^j \left(\log\frac{1}{1-p}\right)^i/i!,\qquad p\in[0, 1)\label{eq:q}\end{equation}

点击阅读全文...

SVD（Singular Value Decomposition，奇异值分解）是常见的矩阵分解算法，相信很多读者都已经对它有所了解，此前我们在《低秩近似之路（二）：SVD》也专门介绍过它。然而，读者是否想到，SVD竟然还可以求导呢？笔者刚了解到这一结论时也颇感意外，因为直觉上“分解”往往都是不可导的。但事实是，SVD在一般情况下确实可导，这意味着理论上我们可以将SVD嵌入到模型中，并用基于梯度的优化器来端到端训练。

问题来了，既然SVD可导，那么它的导函数长什么样呢？接下来，我们将参考文献《Differentiating the Singular Value Decomposition》，逐步推导SVD的求导公式。

推导基础

假设$\boldsymbol{W}$是满秩的$n\times n$矩阵，且全体奇异值两两不等，这是比较容易讨论的情形，后面我们也会讨论哪些条件可以放宽一点。接着，我们设$\boldsymbol{W}$的SVD为：
\begin{equation}\boldsymbol{W} = \boldsymbol{U}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{V}^{\top}\end{equation}

点击阅读全文...

之前在《智能家居之热水器零冷水技术原理浅析》，我们详细介绍过零冷水的原理，最后指出当时市面上只有名为“爱喜易”的设备实现了文章介绍的理想设计，笔者前两年也一直在用它。然而，笔者的该套装置最近出现了故障，加之无法接入米家，所以也不大想修了，另外“爱喜易”的新版设备也越来越贵，颇有一种“屠龙少年终成恶龙”的感觉。

所以，笔者决定按照相同的原理，手搓一套能接入米家的零冷水装置，并将制作过程简要记录如下。

有回水管

当然，说是“手搓”，实际上只是把各种现成配件组装在一起，成为一个完整的系统。实际上理解了前文后，制作思路并不难，只不过由于非专业原因，有些配件可能大家不知道怎么搜索和购买。

点击阅读全文...

持续将“Transformer升级之路”系列关注到本篇的读者，想必都已经对旋转位置编码（RoPE）有所了解。简单来说，RoPE是施加在Attention的Query（$\boldsymbol{Q}$）和Key（$\boldsymbol{K}$）上的旋转变换，形式上属于绝对位置编码，但结合Attention的内积（Dot-Product）特性，能够自动实现相对位置的效果。

那么，RoPE可以加在Value（$\boldsymbol{V}$）上吗？看上去不可以，因为对$\boldsymbol{V}$旋转后就不是相对位置编码了。然而事情并没有那么绝对，本文就来讨论加在$\boldsymbol{V}$上RoPE，我们可以称之为“第二类旋转位置编码”。

基础回顾

我们将Dot-Product Attention分解为
\begin{equation}\boldsymbol{o}_i = \sum_j a_{i,j}\boldsymbol{v}_j,\qquad a_{i,j} = \frac{e^{s_{i,j}}}{\sum\limits_j e^{s_{i,j}}},\qquad s_{i,j} = \boldsymbol{q}_i^{\top}\boldsymbol{k}_j\end{equation}

点击阅读全文...

秩（Rank）是线性代数中的重要概念，它代表了矩阵的内在维度。然而，数学上对秩的严格定义，很多时候并不完全适用于数值计算场景，因为秩等于非零奇异值的个数，而数学上对“等于零”这件事的理解跟数值计算有所不同，数学上的“等于零”是绝对地、严格地等于零，哪怕是$10^{-100}$也是不等于零，但数值计算不一样，很多时候$10^{-10}$就可以当零看待。

因此，我们希望将秩的概念推广到更符合数值计算特性的形式，这便是有效秩（Effective Rank）概念的由来。

误差截断

需要指出的是，目前学术界对有效秩并没有统一的定义，接下来我们介绍的是一些从不同角度切入来定义有效秩的思路。对于实际问题，读者可以自行选择适合的定义来使用。

点击阅读全文...