4 Dec

结果恒为整数的多项式

昨晚上初等数论的时候,有这么一道题

求证
$$\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5+\frac{7}{15}x$$
恒为整数,其中$x$是一个整数。

更一般地,可以得到
$$\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{p}x^p + \left(1-\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{p}\right)x$$
恒为整数,其中$\mathbb{P}$是有限个素数的集合,还有更多整数值函数问题。要证明这些函数的值恒为整数,可以通过同余分析,证明分子总能被分母整除。但是,更妙的、同时往往会更简单的方法是,将结果赋予必然为整数的意义——可以是计算上的,也可以是操作上的。

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27 Oct

算符的艺术:差分、微分与伯努利数

两年前,笔者曾写过《算子与线性常微分方程》两篇,简单介绍了把线形常微分方程算符化,然后通过对算符求逆的方法求得常微分方程的通解。而在这篇文章中,笔者打算介绍关于算符类似的内容:差分算符、微分算符以及与之相关的伯努利数(Bernoulli数)。

我们记$D=\frac{d}{dx}$,那么$Df=\frac{df}{dx}$,同时定义$\Delta_t f(x)=f(x+t)-f(x)$,并且记$D \equiv D_1 =f(x+1)-f(x)$,这里我们研究的$f(x)$,都是具有良好性态的。我们知道,$f(x+t)$在$t=0$附近的泰勒展式为
$$\begin{aligned}f(x+t)&=f(x) + \frac{df(x)}{dx}t + \frac{1}{2!}\frac{d^2 f(x)}{dx^2}t^2 + \frac{1}{3!}\frac{d^3 f(x)}{dx^3}t^3 + \dots\\
&=\left(1+t\frac{d}{dx}+\frac{1}{2!}t^2\frac{d^2}{dx^2}+\dots\right)f(x)\\
&=\left(1+tD+\frac{1}{2!}t^2 D^2+\dots\right)f(x)\end{aligned}$$

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