如图是一个三角形，要求三角形的外角和。外角和定义为“多边形每一个内角的补角之和”，比如这里的∠DAC+∠FCB+∠EBA。当然，这里一般指的是凸多边形。

三角形的外角和 (1)

三角形的外角和 (1)

显然，这并不是一个什么大难题，答案是360度，方法有很多，直接用内角和公式计算、想象成旋转一周甚至你亲自去测量一下都行。但我觉得最妙的方法无疑是下面的方法。

看着上图，是很难得出外角之和为360度的结论的，不过那只是因为我们距离它太近了，所以“不识庐山真面目，只缘身在此山中”。让我们把直线加粗一点点（使我们不至于看不清线段），然后离它远一些再观察。

三角形的外角和 (2)

三角形的外角和 (2)

还是不能看出真相？那我们再加粗，再离它远一些

三角形的外角和 (3)

三角形的外角和 (3)

重复下去...最后，我们“一不做，二不休”，干脆站到连三角形都看不清的无穷远的地方，得到

三角形的外角和 (4)

三角形的外角和 (4)

玩放大镜的知识告诉我们，放大镜能够改变长度、面积、体积，却无法改变角度的大小。所以不论我们站在多远，看到的景物缩小了，但是角度不会有变化。现在三角形已经缩小为一个点了，我们得到了什么？三个角！其大小就是那三个外角，它们拼合成了一个圆周！显然，它们的和为360度！所以，三角形的外角和为360度！

妙哉！这是一种极限思想，也是一种聪明、玩闹的体现：他要我求三角形的外角和，却没有说要我求多大的三角形的外角和，我求一个很小很小的三角形的外角和就行了，这容易多了......

一般的多边形也可以类比这样的证明....它使数学变得有趣而美丽了。

（该思想来自“科学松鼠会”）

转载到请包括本文地址：https://kexue.fm/archives/1652

更详细的转载事宜请参考：《科学空间FAQ》

如果您还有什么疑惑或建议，欢迎在下方评论区继续讨论。

如果您觉得本文还不错，欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益，而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然，如果你无视它，也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢！

如果您需要引用本文，请参考：

苏剑林. (Jul. 03, 2012). 《求多边形外角和的绝妙方法！ 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/1652

@online{kexuefm-1652,
        title={求多边形外角和的绝妙方法！},
        author={苏剑林},
        year={2012},
        month={Jul},
        url={\url{https://kexue.fm/archives/1652}},
}