“看那挖坑的人,有啥不一样~”

“看那挖坑的人,有啥不一样~”

在这个系列中,我们尝试从能量的视角理解GAN。我们会发现这个视角如此美妙和直观,甚至让人拍案叫绝。

本视角直接受启发于Benjio团队的新作《Maximum Entropy Generators for Energy-Based Models》,这篇文章前几天出现在arxiv上。当然,能量模型与GAN的联系由来已久,并不是这篇文章的独创,只不过这篇文章做得仔细和完善一些。另外本文还补充了自己的一些理解和思考上去,力求更为易懂和完整。

作为第一篇文章,我们先来给出一个直白的类比推导:GAN实际上就是一场前仆后继(前挖后跳?)的“挖坑”与“跳坑”之旅~

总的来说,本文的大致内容如下:

1、给出了GAN/WGAN的清晰直观的能量图像;

2、讨论了判别器(能量函数)的训练情况和策略;

3、指出了梯度惩罚一个非常漂亮而直观的能量解释;

4、讨论了GAN中优化器的选择问题。

前“挖”后“跳” #

在这部分中,我们以尽量通俗的比喻来解释什么是能量视角下的GAN。

首先我们有一批样本$x_1,x_2,\dots,x_{n}$,我们希望能找到一个生成模型,这个模型有能力造出一批新的样本$\hat{x}_1,\hat{x}_2,\dots,\hat{x}_{n}$,我们希望这批新样本跟原样本很相似。怎么造呢?很简单,分两步走。

“挖坑” #

第一步,挖坑:我们把真实样本$x_1,x_2,\dots,x_{n}$看成一个个坐标,在这些坐标处挖很多坑,这些坑的分布可以用一个能量函数$U(x)$描述,这样一来真实样本$x_1,x_2,\dots,x_{n}$相当于都被放在坑底了,然后我们再把造出来的假样本$\hat{x}_1,\hat{x}_2,\dots,\hat{x}_{n}$放到“坑腰”:

GAN第一步:“挖坑”

GAN第一步:“挖坑”

然后我们把真假样本放到适当的位置

然后我们把真假样本放到适当的位置

“跳坑” #

第二步,跳坑:把$U(x)$固定住,也就是不要再动坑了,然后把假样本$\hat{x}_1,\hat{x}_2,\dots,\hat{x}_{n}$松开,显然它们就慢慢从滚到坑底了,而坑底代表着真实样本,所以$\hat{x}_1,\hat{x}_2,\dots,\hat{x}_{n}$都变得很像真样本了:

GAN第二步:“跳坑”

GAN第二步:“跳坑”

这便是GAN的工作流程~

把GAN写下来 #

注意,上述两步不仅仅是简单的比喻,而是GAN的完整描述了。根据上述两个步骤,我们甚至可以直接把GAN训练公式写出来。

判别器 #

首先看“挖坑”,我们说了要将真样本放到坑底,假样本放到坑腰,以便后面假样本可以滚到坑底,这意味着假样本的“平均海拔”要高于真样本的“平均海拔”,也就是说
\begin{equation}\mathbb{E}_{x\sim p(x)}\big[U(x)\big] - \mathbb{E}_{x\sim q(x)}\big[U(x)\big]\label{eq:eq-e}\end{equation}
尽量小,这里我们用$p(x)$表示真实样本的分布,$q(x)$表示假样本的分布。假样本通过$x=G(z)$生成,而$z\sim q(z)$是标准正态分布。

梯度惩罚 #

另外,我们还说真样本要在坑底,用数学的话说,坑底就是一个极小值点,导数等于0才好,即要满足$\nabla_x U(x)=0$是最理想的,换成优化目标的话,那就是$\Vert \nabla_x U(x)\Vert^2$越小越好。两者综合起来,我们就得到$U$的优化目标
\begin{equation}\begin{aligned}U =& \mathop{\arg\min}_{U}\mathbb{E}_{x\sim p(x)}\big[U(x)\big] - \mathbb{E}_{x\sim q(x)}\big[U(x)\big] + \lambda \mathbb{E}_{x\sim p(x)}\big[\Vert \nabla_x U(x)\Vert^2\big]\\
=& \mathop{\arg\min}_{U}\mathbb{E}_{x\sim p(x)}\big[U(x)\big] - \mathbb{E}_{z\sim q(z)}\big[U(G(z))\big] + \lambda \mathbb{E}_{x\sim p(x)}\big[\Vert \nabla_x U(x)\Vert^2\big]
\end{aligned}\label{eq:eq-ee}\end{equation}

注:以往对于梯度惩罚,我们总会有两个困惑:1、梯度惩罚究竟是以0为中心好还是以1为中心好;2、梯度惩罚要对真样本、假样本还是真假插值样本进行?现在,基于能量视角,我们可以得到“对真样本进行以0为中心的梯度惩罚”比较好,因为这意味着(整体上)要把真样本放在极小值点处~

至此,在能量视角下,我们对梯度惩罚有了一个非常直观的回答。

生成器 #

然后看“跳坑”,也就是坑挖好了,$U$固定了,我们让假样本滚到坑底,也就是让$U(x)$下降,滚到最近的一个坑,所以
\begin{equation}G = \mathop{\arg\min}_{G}\mathbb{E}_{z\sim q(z)}\big[U(G(z))\big]\label{eq:eq-g}\end{equation}

可以看到,判别器实际上就是在“造势”,而生成器就是让势能最低,这便是能量GAN的主要思想~

交替训练 #

如果真实情况的坑都像上面的图那么简单,那么可能就只需要两步就能训练完一个生成模型了。但是真实情况下的坑可能是很复杂的,比如下图中假样本$\hat{x}_1$慢慢下滑,并不一定能到达$x_1$的坑,而是到达一个中间的坑,这个中间的坑并非代表真样本,可能仅仅是“次真”的样本,所以我们需要不断地改进假样本,也需要不断地把坑修正过来(比如争取能下一步把阻碍前进的峰“削掉”)。这也就是说,我们需要反复、交替地执行$\eqref{eq:eq-e},\eqref{eq:eq-g}$两步。

真实情况下坑的分布可能更复杂

真实情况下坑的分布可能更复杂

坑的学问 #

看,头脑中想象着几个坑,我们就可以把GAN的完整框架导出来了,而且还是先进的WGAN-GP的升级版:以0为中心的梯度惩罚

GAN不过是一场坑的学问!

对这个GAN的进一步讨论,可以参考我之前写的博客《WGAN-div:一个默默无闻的WGAN填坑者》或者论文《Which Training Methods for GANs do actually Converge?》

进一步思考 #

上述图景还能帮助我们回答很多问题。比如判别器能不能不要梯度惩罚?为什么GAN的训练、尤其是生成器的训练多数都不用带动量的优化器,或者就算用带动量的优化器,也要把动量调小一点?还有mode collapse(模式坍缩)是怎么发生呢?

Hinge Loss #

梯度惩罚在理论上很漂亮,但是它确实太慢,所以从实践角度来看,其实能不用梯度惩罚的话最好不用梯度惩罚。但是如果不用梯度惩罚,直接最小化式$\eqref{eq:eq-e}$,很容易数值不稳定。

这不难理解,因为没有约束情况下,很容易对于真样本有$U(x)\to -\infty$,对于假样本有$U(x)\to +\infty$,也就是判别器优化得太猛了,差距拉得太大(无穷大)了。那么一个很自然的想法是,分别给真假样本分别设置一个阈值,$U(x)$的优化超过这个阈值就不要再优化了,比如:
\begin{equation}\mathbb{E}_{x\sim p(x)}\big[\max(0, 1+U(x))\big] + \mathbb{E}_{x\sim q(x)}\big[\max(0,1-U(x))\big]\label{eq:eq-e-hinge}\end{equation}
这样一来,对于$x\sim p(x)$,如果$U(x) < -1$,则$\max(0, 1+U(x))=0$,对于$x\sim q(x)$,$U(x) > 1$,则$\max(0, 1-U(x))=0$,这两种情况下都不会在优化$U(x)$了,也就是说对于真样本$U(x)$不用太小,对于假样本$U(x)$不用太大,从而防止了$U(x)$过度优化了。

这个方案就是SNGAN、SAGAN、BigGAN都使用的hinge loss了。

当然,如果$U(x)$本身就是非负的[比如EBGAN中用自编码器的MSE作为$U(x)$],那么可以稍微修改一下式$\eqref{eq:eq-e-hinge}$:
\begin{equation}\mathbb{E}_{x\sim p(x)}\big[U(x)\big] + \mathbb{E}_{x\sim q(x)}\big[\max(0,m-U(x))\big]\label{eq:eq-e-hinge2}\end{equation}
其中$m > 0$。

优化器 #

至于优化器的选择,其实从“跳坑”那张图我们就可以看出答案来。

带动量的优化器有利于我们更快地找到更好的极小值点,但是对于GAN来说,其实我们不需要跑到更好的极小值点,我们只需要跑到最近的极小值点,如果一旦跳出了最近的极小值点,跑到更低的极小值点,那么可能就丧失了多样性,甚至出现mode collapse。

比如下图中的$\hat{x}_2$,不带动量的优化算法能让$\hat{x}_2$跑到$x_2$处就停下来,如果带动量的话,那么可能越过$x_2$甚至跑到$x_1$去了。尽管$x_1$也是真样本,但是这样一来$\hat{x}_1,\hat{x}_2$同时向$x_1$靠拢,也许没有假样本能生成$x_2$了,从而丧失了多样性。

带动量与不带动量的优化轨迹比较:不带动量时,假样本只需要落到最近一个坑,如果带动量的话,可能越过最近的坑,到达更远的坑去,导致假样本聚集在某些真样本附近,丧失多样性

带动量与不带动量的优化轨迹比较:不带动量时,假样本只需要落到最近一个坑,如果带动量的话,可能越过最近的坑,到达更远的坑去,导致假样本聚集在某些真样本附近,丧失多样性

所以,在GAN的优化器中,动量不能太大,太大反而有可能丧失生成样本的多样性,或者造成其他的不稳定情况。同理,学习率也不能太大。总之,一切加速手段都不能太猛了。

Mode Collapse #

什么是mode collapse?为什么会发生mode collapse?还是可以用这个图景来轻松解释。

前面我们画的图把假样本$\hat{x}$画得很合理,但是如果一旦初始化不好、优化不够合理等原因,使得$\hat{x}$同时聚在个别坑附近,比如:

mode collapse图示

mode collapse图示

这时候按照上述过程优化,所有假样本都都往$x_n$奔了,所以模型只能生成单一(个别)样式的样本,这就是mode collapse。

简单来看,mode collapse是因为假样本们太集中,不够“均匀”,所以我们可以往生成器那里加一个项,让假样本有均匀的趋势。这个项就是假样本的熵$H(X)=H(G(Z))$,我们希望假样本的熵越大越好,这意味着越混乱、越均匀,所以生成器的目标可以改为
\begin{equation}G = \mathop{\arg\min}_{G} -H(G(Z)) + \mathbb{E}_{z\sim q(z)}\big[U(G(z))\big]\label{eq:eq-gg}\end{equation}

这样理论上就能解决mode collapse的问题。至于$H(X)$怎么算,我们后面会详细谈到。

能量视角之美 #

对于GAN来说,最通俗易懂的视角当属“造假者-鉴别者”相互竞争的类比,这个视角直接导致了标准的GAN。但是,这个通俗的类比无法进一步延伸到WGAN乃至梯度惩罚等正则项的理解。

相比之下,能量视角相当灵活,它甚至能让我们直观地理解WGAN、梯度惩罚等内容,这些内容可以说是目前GAN领域最先进的部分成果了。虽然看起来能量视角比“造假者-鉴别者”形式上复杂一些,但其实它的物理意义也相当清晰,稍加思考,我们会感觉到它其实更为有趣、更具有启发性,有种“越嚼越有味”的感觉~

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如果您需要引用本文,请参考:

苏剑林. (2019, Jan 30). 《能量视角下的GAN模型(一):GAN=“挖坑”+“跳坑” 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/6316