指数函数及其展开式孰大孰小?
By 苏剑林 | 2012-03-18 | 28323位读者 |在x>0时,指数函数$f(x)=e^x$与幂函数$h_n (x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}$孰大孰小?
对于已经学习了微积分的朋友来说,这道题目是很简单的,甚至$f(x) > h_n (x)$可以说是“显然成立的”(因为$e^x$展开式接下来的无穷项都是正数)。但是,这道题目出在了2012年的广州一模理科数学中,就显得不那么简单了,得用初等的方法来证明它。而笔者最近养成了一个习惯,拿到一张数学试卷,不是先做选择题,而是先做最后一题。所以在参加广州一模时,先花了半个小时把最后一题(即本题)解决了。下面是我想到的三种解法。
一、数学归纳法
这是官方的答案所采用的方法,也是BoJone写在答题卡上的方法(没想到碰到一块了)。
首先用函数的方法(求导)证明$e^x > 1+x$作为归纳的基础(这其实也是第一小题)。然后假设n=k时成立,即$g_k (x)=f(x) - h_k (x) > 0$,读者能够发现一个很有趣的事,那就是$g_{k+1} (x)$的导函数$g_{k+1}' (x)=g_k (x)$,于是有$g_{k+1}' (x)=g_k (x) > 0$,即在假设条件下,$g_{k+1} (x)$在$(0,+\infty)$是增函数,于是$g_{k+1} (x) > g_{k+1} (0) =0$,于是就证明了n=k+1时也成立。
这的确是一种不错的方法。数学归纳法在这些“应试教育题目”本来就很难有机会出现,现在能够在压轴题上运用到,这不能不让人兴奋!我希望能够看到更多的数学归纳法、反证法之类的题目(更希望它出现在高考,呵呵)
二、作商求导
然而上面的方法却不是我第一时间想到的方法,我首先想到的方法是两者作商,然后求导。可惜当时没有坚持下去,因为事后才发现这当属最简单的方法了。首先设函数:
$$g_n (x)=\frac{h_n (x)}{f(x)}=e^{-x}+xe^{-x}+\frac{1}{2!}x^2 e^{-x}+...\frac{1}{n!}x^n e^{-x}$$
你猜一下求导后会发生什么?
$(\frac{1}{n!}x^n e^{-x})'=\frac{1}{(n-1)!}x^{n-1} e^{-x}-\frac{1}{n!}x^n e^{-x}$
这完全就是所谓的“裂项相消”了!你会发现,把所有的导数项都累加起来后,得到:
$$g_n '(x)=-\frac{1}{n!}x^n e^{-x}$$
这显然是一个负数!于是$g_n (x)$在$(0,\infty)$上是单调递减的,于是$g_n (x) < g_n (0)=1$。这等价于$f(x) > h_n (x)$。
这是最直接的方法了(我的了解)。数学归纳法固然巧妙,只是它的程序实在太多,写在答题卡上不方便。不过按照纯数学欣赏来说,两者都同样让人叫绝!因为它们都很美!
三、不断积分
这个方法对于一般高中生来说也许不怎么好理解,而对于我来说它几乎是显然的。当然,这个方法应该不适合在答卷上用,但是科学空间里的文章本来就不是为了应试的,我们是为了欣赏数学的美!
首先我们得知道要是一个函数f(x)恒大于0,那么就会有$\int_0^a f(x) dx > 0$,从定积分的定义来看这是很容易理解的。
应用到这道题目上,先有$e^x > 1$,考虑积分$\int_0^x (e^t -1)dt >0$,得到$e^x -x -1 >0$,继续考虑积分$\int_0^x (e^t -1-t)dt >0$,得到$e^x -1 -x-\frac{1}{2}x^2>0$;不断进行下去即可。这里其实是偷用了泰勒级数的一个推导而已。这也属于归纳(递推)的方法吧。
这次广州一模出现了这类题目,反映了两个问题:一、数学压轴题很多是高等数学初等化;二、数学归纳法等思想日益得到重视。要是真的是这样的话,BoJone会感到很高兴,事实上我讨厌那类高强度的计算的题目,那对我们的思维促进毫无意义,只有那些有难度、思想新颖可是题目本身又容易看懂的题目才是真正的好题目!
转载到请包括本文地址:https://kexue.fm/archives/1559
更详细的转载事宜请参考:《科学空间FAQ》
如果您还有什么疑惑或建议,欢迎在下方评论区继续讨论。
如果您觉得本文还不错,欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!
如果您需要引用本文,请参考:
苏剑林. (Mar. 18, 2012). 《指数函数及其展开式孰大孰小? 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/1559
@online{kexuefm-1559,
title={指数函数及其展开式孰大孰小?},
author={苏剑林},
year={2012},
month={Mar},
url={\url{https://kexue.fm/archives/1559}},
}
April 15th, 2012
还是小心点好~高考别把分丢在前面么~
嘛~但是bojone比我强大多了~数学也是小case,不像我那么粗心~呵呵~
高考加油哦~
August 3rd, 2015
说实话没见过泰勒级数用你写的递推法,倒看到的是用多项式插值的牛顿形式推导出来的。这也是泰勒级数的历史来源