[欧拉数学]黎曼ζ函数
By 苏剑林 | 2011-11-18 | 48708位读者 |欧拉数学的魅力在于,它运用类比的方法,把各个看似毫无关联的领域联系了起来,生动而巧妙地得出了正确的结果。他对$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...=\frac{\pi^2}{6}$的计算便是一个典型的例子。虽然论证过程未必严谨,但是那“神奇”的推导已经令我们拍案叫绝,而且往往发人深思。这种效果通常是严格论证难以实现的,它不仅给予我们答案,而且还给予了我们启迪:新的思想,新的方向;有时,它还揭示了各个学科之间内在而深刻的联系。下面我们来观察一下数论中的“黎曼ζ函数”和“金钥匙”!
黎曼ζ函数指的是:
$$\xi (s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+...$$
本来s应该是一个实数,但是将复分析引入数论后,将s推广至复数具有更大的研究价值。
关于黎曼ζ函数有一个被称为“黎曼猜想”著名的问题:它猜测黎曼ζ函数所有非平凡零点的实数部份都是1/2。关于这个问题本文只是提一提,不作延伸,有兴趣的读者请参考维基百科-黎曼ζ函数和维基百科-黎曼猜想。虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论相关,但它也出现在应用统计学中、调音的数学理论,甚至它还和理论物理中的量子混沌有关!
这里我们只关注ζ函数的形式作用。不知道读者还记得生成素数的最原始方法——埃拉托色尼筛法?在前n个自然数中,划去所有不大于$\sqrt{n}$的素数的倍数(素数本身除外),剩下的就全是素数了。我们将用类似埃拉托色尼筛法的方法来处理黎曼ζ函数。
$$\xi (s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{6^s}...$$
$$\frac{1}{2^s} \xi (s)=\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{6^s}+\frac{1}{8^s}+\frac{1}{10^s}+...$$
两者相减:
$$(1-\frac{1}{2^s})\xi (s)=1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{9^s}...$$
也就是说,所有分母为偶数的都删去了。这像不像埃拉托色尼筛法中的第一步:删除所有的2的倍数?当然,不同的地方是埃拉托色尼筛法中并没有删去2本身,而这里删除了。接着进行类似处理:
$$\frac{1}{3^s}(1-\frac{1}{2^s})\xi (s)=\frac{1}{3^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{15^s}+\frac{1}{21^s}+\frac{1}{27^s}...$$
继而相减得出:
$$(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{2^s})\xi (s)=1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}...$$
重复这个过程知道某个相当大的素数(比如997),我们就会得到:
$$\begin{aligned}(1-\frac{1}{997^s})...(1-\frac{1}{5^s})(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{2^s})\xi (s) \\ =1+\frac{1}{1009^s}+\frac{1}{1013^s}+\frac{1}{1019^s}+\frac{1}{1021^s}...\end{aligned}$$
如果s大于1,那么右边便是收敛的,而且随着素数的增大,右端会越来越小,这样我们会有理由相信下面的式子的存在:
$$...(1-\frac{1}{p^s})...(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{2^s})\xi (s)=1$$
其中左端遍历所有的素数。我们将它改写成:
$$\xi (s)=(1-2^{-s})^{-1}(1-3^{-s})^{-1}(1-5^{-s})^{-1}(1-7^{-s})^{-1}(1-11^{-s})^{-1}...$$
或者用更专业的符号改写成:
$$\xi (s)=\prod_{p} (1-p^{-s})^{-1}$$
它揭示了自然数与素数的一种关系,这在数论中被称为“金钥匙”(实际上又叫欧拉积公式,首先由欧拉得出)。因为有了它,可以打开数学中的很多大门,尤其是建立起各个数学领域之间的联系。实际上我们之前在这里已经使用过它的一部分。利用它,我们可以计算出很多难以计算的问题,例如所有素数倒数之和发散、任意两个自然数互质的概率等等...
参看资料:《素数之恋》
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November 20th, 2011
欧拉解决黎曼zeta函数在2时的值(也称为巴塞尔问题)的方法就是他的成名之作。另外最近我在业余时间也在想用欧拉的思路而非傅立叶级数的方法解决黎曼zeta函数在4,6,8时的值的运算问题,其实本质上就是个组合数学的问题——4的情况很简单,6稍微遇到了一些小麻烦,到8就有大麻烦了——尽管最后终于找到了问题之所在,不过像这个问题,我想还是求助于傅立叶级数较好。
用留数法可以很快的得到zeta函数在偶数时的通项
August 3rd, 2015
站长这些不会删除吧?
以后可能还要查阅呢?
(有很多书上没说的东西)
November 12th, 2018
zeta函数是有限的吧,梳子齿轮再多,也是有个把的。我的把是3.