[欧拉数学]黎曼ζ函数

欧拉数学的魅力在于，它运用类比的方法，把各个看似毫无关联的领域联系了起来，生动而巧妙地得出了正确的结果。他对$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...=\frac{\pi^2}{6}$的计算便是一个典型的例子。虽然论证过程未必严谨，但是那“神奇”的推导已经令我们拍案叫绝，而且往往发人深思。这种效果通常是严格论证难以实现的，它不仅给予我们答案，而且还给予了我们启迪：新的思想，新的方向；有时，它还揭示了各个学科之间内在而深刻的联系。下面我们来观察一下数论中的“黎曼ζ函数”和“金钥匙”！

黎曼ζ函数指的是：
$$\xi (s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+...$$
本来s应该是一个实数，但是将复分析引入数论后，将s推广至复数具有更大的研究价值。

关于黎曼ζ函数有一个被称为“黎曼猜想”著名的问题：它猜测黎曼ζ函数所有非平凡零点的实数部份都是1/2。关于这个问题本文只是提一提，不作延伸，有兴趣的读者请参考维基百科-黎曼ζ函数和维基百科-黎曼猜想。虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论相关，但它也出现在应用统计学中、调音的数学理论，甚至它还和理论物理中的量子混沌有关！

这里我们只关注ζ函数的形式作用。不知道读者还记得生成素数的最原始方法——埃拉托色尼筛法？在前n个自然数中，划去所有不大于$\sqrt{n}$的素数的倍数（素数本身除外），剩下的就全是素数了。我们将用类似埃拉托色尼筛法的方法来处理黎曼ζ函数。

$$\xi (s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{6^s}...$$

$$\frac{1}{2^s} \xi (s)=\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{6^s}+\frac{1}{8^s}+\frac{1}{10^s}+...$$

两者相减：
$$(1-\frac{1}{2^s})\xi (s)=1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{9^s}...$$

也就是说，所有分母为偶数的都删去了。这像不像埃拉托色尼筛法中的第一步：删除所有的2的倍数？当然，不同的地方是埃拉托色尼筛法中并没有删去2本身，而这里删除了。接着进行类似处理：

$$\frac{1}{3^s}(1-\frac{1}{2^s})\xi (s)=\frac{1}{3^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{15^s}+\frac{1}{21^s}+\frac{1}{27^s}...$$

继而相减得出：
$$(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{2^s})\xi (s)=1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}...$$

重复这个过程知道某个相当大的素数（比如997），我们就会得到：
$$\begin{aligned}(1-\frac{1}{997^s})...(1-\frac{1}{5^s})(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{2^s})\xi (s) \\ =1+\frac{1}{1009^s}+\frac{1}{1013^s}+\frac{1}{1019^s}+\frac{1}{1021^s}...\end{aligned}$$

如果s大于1，那么右边便是收敛的，而且随着素数的增大，右端会越来越小，这样我们会有理由相信下面的式子的存在：
$$...(1-\frac{1}{p^s})...(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{2^s})\xi (s)=1$$

其中左端遍历所有的素数。我们将它改写成：
$$\xi (s)=(1-2^{-s})^{-1}(1-3^{-s})^{-1}(1-5^{-s})^{-1}(1-7^{-s})^{-1}(1-11^{-s})^{-1}...$$

或者用更专业的符号改写成：
$$\xi (s)=\prod_{p} (1-p^{-s})^{-1}$$

它揭示了自然数与素数的一种关系，这在数论中被称为“金钥匙”（实际上又叫欧拉积公式，首先由欧拉得出）。因为有了它，可以打开数学中的很多大门，尤其是建立起各个数学领域之间的联系。实际上我们之前在这里已经使用过它的一部分。利用它，我们可以计算出很多难以计算的问题，例如所有素数倒数之和发散、任意两个自然数互质的概率等等...

参看资料：《素数之恋》

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