科学空间|Scientific Spaces

他就是莫言。

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今天晚上七点钟，诺贝尔奖官方网站这样说：

The Nobel Prize in Literature 2012 was awarded to Mo Yan "who with hallucinatory realism merges folk tales, history and the contemporary".

莫言将现实和幻想、历史和社会角度结合在一起。他创作中的世界令人联想起福克纳和马尔克斯作品的融合，同时又在中国传统文学和口头文学中寻找到一个出发点。

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今天早上同学问了我有关伽马函数和$n$维空间的球体积之间的关系，我记得我以前想要研究，但是并没有落实。既然她提问了，那么就完成这未完成的计划吧。

标准思路

简单来说，$n$维球体积就是如下$n$重积分
$$V_n(r)=\int_{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\leq r^2}dx_1 dx_2\dots dx_n$$
用更加几何的思路，我们通过一组平行面（$n-1$维的平行面）分割，使得$n$维球分解为一系列近似小柱体，因此，可以得到递推公式
$$V_n (r)=\int_{-r}^r V_{n-1} \left(\sqrt{r^2-t^2}\right)dt$$
设$t=r\sin\theta_1$，就有
$$V_n (r)=r\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} V_{n-1} \left(r\cos\theta_1\right)\cos\theta_1 d\theta_1$$

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在《基于GRU和AM-Softmax的句子相似度模型》中我们介绍了AM-Softmax，它是一种带margin的softmax，通常用于用分类做检索的场景。当时通过图示的方式简单说了一下引入margin是因为“分类与排序的不等价性”，但没有比较定量地解释这种不等价性的来源。

在这篇文章里，我们来重提这个话题，从距离的三角不等式的角度来推导和理解margin的必要性。

三角不等式

平时，我们说的距离一般指比较直观的“欧氏距离”，但在数学上距离，距离又叫“度量”，它有公理化的定义，是指定义在某个集合上的二元函数$d(x,y)$，满足：

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上一篇文章《生成扩散模型漫谈（十九）：作为扩散ODE的GAN》中，我们介绍了如何将GAN理解为在另一个时间维度上的扩散ODE，简而言之，GAN实际上就是将扩散模型中样本的运动转化为生成器参数的运动！然而，该文章的推导过程依赖于Wasserstein梯度流等相对复杂和独立的内容，没法很好地跟扩散系列前面的文章连接起来，技术上显得有些“断层”。

在笔者看来，《生成扩散模型漫谈（十七）：构建ODE的一般步骤（下）》所介绍的ReFlow是理解扩散ODE的最直观方案，既然可以从扩散ODE的角度理解GAN，那么必定存在一个从ReFlow理解GAN的角度。经过一番尝试，笔者成功从ReFlow推出了类似WGAN-GP的结果。

理论回顾

之所以说“ReFlow是理解扩散ODE的最直观方案”，是因为它本身非常灵活，以及非常贴近实验代码——它能够通过ODE建立任意噪声分布到目标数据分布的映射，而且训练目标非常直观，不需要什么“弯弯绕绕”就可以直接跟实验代码对应起来。

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数字是美丽的、极具魅力的，正如——
有这样的一种数，将其拆开成为两个数，这两个数的和的平方等于原数。例如：
$$\begin{aligned}2025=&(20+25)^2\\88209=&(88+209)^2\\152344237969=&(152344+237969)^2\\ &...\end{aligned}$$

下面是关于这类数的一些研究：

1、这类数的实质是：$(A+B)^2=10^nA+B$，而对于$(A+B)^2=kA+B$，有
$A=k/2-B\pm\sqrt{{k^2}/{4}-(k-1)B}$
因此，一般地，对于一个适合的B，可以找到两个对应的A。

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代数基本定理：任何一个一元复系数多项式都至少有一个复数根。也就是说，复数域是代数封闭的。

虽说这有其名，但却无其实，它并不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理(Fundamental theorem of algebra)。

建立在此前提上，我们可以推出：

一元复系数n次代数方程在复数范围内都有n个根（有可能是共轨复根）。

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在文章《生成扩散模型漫谈（六）：一般框架之ODE篇》中，我们推导了SDE的Fokker-Planck方程；而在《生成扩散模型漫谈（十二）：“硬刚”扩散ODE》中，我们单独推导了ODE的连续性方程。它们都是描述随机变量沿着SDE/ODE演化的分布变化方程，连续性方程是Fokker-Planck方程的特例。在推导Fokker-Planck方程时，我们将泰勒展开硬套到了狄拉克函数上，虽然结果是对的，但未免有点不伦不类；在推导连续性方程时，我们结合了雅可比行列式和泰勒展开，方法本身比较常规，但没法用来推广到Fokker-Planck方程。

这篇文章我们介绍“测试函数法”，它是推导连续性方程和Fokker-Planck方程的标准方法之一，其分析过程比较正规，并且适用场景也比较广。

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科学空间Logo

简单为blog设计了个Logo，虽说是设计，其实也就是简单地把量子力学中路径积分的被积函数$e^{\frac{i}{\hbar}S}$拿过来了。

Logo的主体是一个“S”，含义有那么几个。第一，$S$是科学空间域名的开头，也是英文名称Scientific Spaces的开头；第二，$S$是物理中的作用量的习惯简写，而作用量是我非常喜欢的物理表述形式；同时也就是路径积分的相位函数了。特别地，S还是我姓氏“苏”的首字母。

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