13 Mar

一维弹簧的运动(下)

在上一篇文章中,我们得到了一维弹簧运动的方程
$$m\frac{\partial^2 X}{\partial t^2}=k\frac{\partial^2 X}{\partial \xi^2}$$
并且得到了通解
$$X=F(u)+H(v)=F(\xi+\beta t)+H(\xi-\beta t)$$
或者
$$X(\xi,t)=\frac{1}{2}\left[X_0(\xi+\beta t)+X_0(\xi-\beta t)\right]+\frac{1}{2\beta}\int_{\xi-\beta t}^{\xi+\beta t} X_1 (s)ds$$
在文章的末尾,提到过这个解是有些问题的。现在让我们来详细分析它。

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11 Mar

一维弹簧的运动(上)

我们通常用一个波动方程来描述弦的振动,但是,弦的振动是二维的,也就是说,它的“波”是在垂直方向的位移。让我们来考虑一根一端固定的一维理想弹簧,胡克系数为$k$,它的松弛状态是均匀的,线密度是$\rho$,长度是$l$,质量是$m$。

如何弹?
我们要分析这根弹簧的运动,即给定弹簧的初始状态,看弹簧的密度如何变化,这种情况类似于“横波”。但是,弹簧本身是连续介质,这是我们不熟悉的,但是我们可以将它离散化,将它看成无数个小质点的弹簧链。如下图

离散的弹簧

离散的弹簧

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16 Feb

带点电荷的均匀杆

在讨论了倒立单摆的相关分析之后,胡雄大哥(笔者的一位好友)提出了一个问题:一根均匀杆,当然质量不可忽略,只有一个力(简单起见,可以先假设为恒力)作用在其中一个点上(简单起见,可以假设为端点),那么杆是怎么运动的?

其实笔者学了不少的经典力学,也分析了不少问题,但就是对于力矩、角动量等还是模模糊糊的,对于我来说,大多数经典力学问题就是“作用量+变分”,本题也不例外。为了让题目的实验意义更加明确,不妨将题目改成:

一根中性的均匀杆,它的一个端点带有一个点电荷,那么它(仅仅)在一个均匀电场中的运动是怎样的?

在这里,我们进一步简化,只考虑平面问题。杆属于刚体,为了描述杆的运动,我们需要描述杆上一点的运动,以及杆绕这一点的转动,也就是说,即使只考虑平面的情况,该系统也是有三个自由度的。设杆的带电荷那一端点的坐标为$(x,y)$,为了描述杆的转动,以这一端点为中心建立极坐标系,设杆的极角为$\theta$。设电势的函数为$U(x,y)$,因为只有一点带电(受力),因此势能是简单的。

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12 Feb

漫谈几何量子化

在查找量子化有关资料的时候,笔者查找到了一系列名为《漫谈几何量子化》的文章,并进一步查询得知,作者为季候风,原来发表在繁星客栈(顺便提一下,繁星客栈是最早的理论物理论坛之一,现在已经不能发帖了,但是上面很多资料都弥足珍贵),据说这是除正则量子化和路径积分量子化外的第三种量子化方法。网上鲜有几何量子化的资料,更不用说是中文资料了,于是季候风前辈的这一十五篇文章便显得格外有意义了。

然而,虽然不少网站都转载了这系列文章,但是无一例外地,文章中的公式图片已经失效了,后来笔者在百度网盘那找到其中的十四篇pdf格式的(估计是网友在公式图片失效前保存下来的),笔者通过替换公式服务器的方式找回了第十五篇,把第十五篇也补充进去了。(见漫谈几何量子化(原文档).zip

虽然这样已经面前能够阅读了,但是总感觉美中不足,虽然笔者花了三天时间把文章重新用$\LaTeX$录入了,主要是把公式重新录入了,简单地排版了一下。现放出来与大家分享。

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7 Feb

视频演示:费曼的茶杯

为了形象地展示为什么有些系统需要旋转720度而不是360度才能恢复原状,费曼想到了一个“茶杯法”。看了“茶杯法”的步骤之后,我突然想起了电影《太极1》的梁小龙的一个端药镜头,正好对应着费曼的“茶杯法”,遂把镜头剪了出来,供大家欣赏。

请仔细观察梁小龙的手转了多少圈?

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5 Jan

不确定性原理的矩阵形式

作为量子理论的一个重要定理,不确定性原理总是伴随着物理意义出现的,但是从数学的角度来讲,把不确定性原理的数学形式抽象出来,有助于我们发现更多领域的“不确定性原理”。

本文中,我们将谈及不确定性原理的n维矩阵形式。首先需要解释给大家的是,不确定性原理其实是关于“两个厄密算符与一个单位向量之间的一条不等式”。在量子力学中,厄密算符对应着无穷维的厄密矩阵;而所谓厄密矩阵,就是一个矩阵同时取共轭和转置之后,等于它自身。但是本文讨论一个更简单的情况,那就是n维实矩阵,n维实矩阵中的厄密矩阵就是我们所说的实对称矩阵了。

设$\boldsymbol{x}$是一个n维单位向量,即$|\boldsymbol{x}|=1$,而$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$是n阶实对称矩阵。在量子力学中,$\boldsymbol{x}$就是波函数,但是在这里,它只不过是一个单位实向量;并记$\boldsymbol{I}$是n阶单位阵。

考虑
$$\bar{A}=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x},\bar{B}=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}$$
从这些记号可以看出,这些量对应着可观测量的期望值。当然,如果不懂量子力学,可以只看上面的矩阵形式。

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29 Dec

有质动力:倒立单摆的稳定性

前几天在“宇宙的心弦”浏览网页时,发现他更新了一篇很有趣的文章,叫《倒立单摆的稳定性与Ponderomotive Force》(果然,物理系的能接触到各种各样有趣的现象),里边谈到通过施加一个运动在单摆上面,倒立的单摆也可以是稳定的。这勾起了我的兴趣,遂也计算了一番。

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15 Nov

力学系统及其对偶性(三)

在上一篇文章中,我已经初步地从最小作用量原理的角度来观察对偶定律的表现。虽然那是一种便捷有效的方法,但是还是给我们流下了一些遗憾。上一节是从几何形式的作用量原理出发的,而没有在一般形式的作用量框架下讨论。因为如果在$S=\int Ldt=\int (T-U)dt$的形式下讨论坐标变换问题会出现困难,困难源于我们进行了变换$d\tau=|z|^2 dt$,这导致了时间和空间的耦合,变分不能简单地进行。但是,这并非无法解决的问题。我们还是可以在基本的作用量原理之下讨论变换问题。下面将对此问题进行讨论。

变分中的变量代换

考虑一个一般的保守系统的作用量:
$$S=\int_{t_1}^{t_2} L(q,\frac{dq}{dt})dt$$

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