《量子力学与路径积分》习题解答V0.3
By 苏剑林 | 2015-11-18 | 18341位读者 | 引用新的《量子力学与路径积分》习题解答又放出来啦。与前两个版本不同的是,前两次更新,每次基本上完成了两章的习题,而这一次,只是增加了第6章的22道习题(第6章共有29道)。原因很多,各种忙就不说啦,主要是第6章开始,各种题目开始复杂起来,计算量也增大,虽然笔者是数学系的,可是还是前进得艰难。还有,第4、5两章加起来也只是25道习题,第6章却有29题,因此,本次更新的工作量,远远大于前两次更新的工作量。
为什么只有22题?当然是没有做完啦。为什么没有做完就更新啦?因为笔者觉得右面的题目,跟第7章的联系更为密切,因此,怕读者等不及,所以剩下的题目,跟第7章一起再发吧。
此外,我是看着中文版来做题的,中文版的翻译质量还不错,但是细微之处却有些不妥当,所以笔者要来回参考中英文版,颇累。读者可以发现,这一版中,“勘误”增加了不少。
《量子力学与路径积分》习题解答V0.2
By 苏剑林 | 2015-10-17 | 17648位读者 | 引用《量子力学与路径积分》习题解答V0.1
By 苏剑林 | 2015-09-14 | 37822位读者 | 引用ODE的坐标变换
熟悉理论力学的读者应该能够领略到变分法在变换坐标系中的作用。比如,如果要将下面的平面二体问题方程
$$\left\{\begin{aligned}\frac{d^2 x}{dt^t}=\frac{-\mu x}{(x^2+y^2)^{3/2}}\\
\frac{d^2 y}{dt^t}=\frac{-\mu y}{(x^2+y^2)^{3/2}}\end{aligned}\right.\tag{1}$$
变换到极坐标系下,如果直接代入计算,将会是一道十分繁琐的计算题。但是,我们知道,上述方程只不过是作用量
$$S=\int \left[\frac{1}{2}\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)+\frac{\mu}{\sqrt{x^2+y^2}}\right]dt\tag{2}$$
变分之后的拉格朗日方程,那么我们就可以直接对作用量进行坐标变换。而由于作用量一般只涉及到了一阶导数,因此作用量的变换一般来说比较简单。比如,很容易写出,$(2)$在极坐标下的形式为
$$S=\int \left[\frac{1}{2}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2\right)+\frac{\mu}{r}\right]dt\tag{3}$$
对$(3)$进行变分,得到的拉格朗日方程为
$$\left\{\begin{aligned}&\ddot{r}=r\dot{\theta}^2-\frac{\mu}{r^2}\\
&\frac{d}{dt}\left(r^2\dot{\theta}\right)=0\end{aligned}\right.\tag{4}$$
就这样完成了坐标系的变换。如果想直接代入$(1)$暴力计算,那么请参考《方程与宇宙》:二体问题的来来去去(一)
力的无穷分解与格林函数法
By 苏剑林 | 2014-11-24 | 35920位读者 | 引用我小时候一直有个疑问:
直升机上的螺旋桨能不能用来挡雨?
一般的螺旋桨是若干个“条状”物通过旋转对称而形成的,也就是说,它并非一个面,按常理来说,它是没办法用来挡雨的。但是,如果在高速旋转的情况下,甚至假设旋转速度可以任意大,那么我们任意时刻都没有办法穿过它了,这种情况下,它似乎与一个实在的面无异?
力的无穷分解
而让人惊喜的是,在通常的物理系统中,将力分段为无数个小区间内的恒力的做法,能够导致正确的答案,而且,这恰好是线性常微分方程的格林函数法。下面我们来分析这一做法。
最近的很多篇文章都是数论内容,属于纯数学的范畴了,对于很多只爱好物理或应用数学的读者可能会看得头晕了。今天我们来谈些不那么抽象的东西,我们来谈谈风筝,并来分析一下风筝的飞行力学。
爱情就像放风筝,线不能来得太紧,也不能拉得太松,你只会给对方飞翔的空间,他/她始终会回到你身边,因为有一条线系着双方。
风筝,在我们这个地方叫做纸鸢,相信大家童年时一定会放过。笔者小时候放风筝时,已经是小学五年级之前的事了。这个暑假突然童心一起,凭着小时候的回忆,简单做了个风筝来玩,居然真的飞起来了!兴奋之余,与大家分享一下。如今再来放风筝,真心感觉到放风筝也有很多技巧,让风筝飞,还不是件容易的事情呢,真可谓人生处处皆学问呀。上面关于风筝的比喻,正是放风筝的真实写照吧。
风筝可以说是人类摆脱地球重力的最原始尝试吧,跟发射宇宙飞船的火箭不同,风筝是借助风力来抵抗重力,严格来讲,即便是现在的飞机,也离不开这个原理(我们最后会谈到)。简单来讲,风筝就是用轻的支架撑开一个轻盈的平面,然后系上一个线圈。我们简单做一个风筝,只需要一张报纸,两条竹篾和一点透明胶,十分钟内就可以完成一个。当然,现在已经有各种各样的好看的风筝,甚至还有龙形的风筝,但是,自己动手简单做一个风筝,还是相当好玩的。
风筝自然是借助风力飞起来的,可是为什么风筝得用绳子牵着才能飞得更高、绳断了反而掉下来?风大多时,才适合放风筝?飞机又是怎么飞起来的?下面我们试着分析这些问题。
一本对称闯物理:相对论力学(二)
By 苏剑林 | 2014-03-25 | 18081位读者 | 引用从这个系列的第一篇文章到本文,已经隔了好多天。其实本文的内容是跟第一篇的内容同时完成的,为什么这么久才更新呢?原因有二,其一是随着春天的到来人也开始懒起来了,颓废呀~;其二,我在思考着规范变换的问题。按照朗道《场论》的逻辑,发展完质点力学理论后,下一步就是发展场论,诸如电磁场、引力场等。但是场论中有个让我比较困惑的东西,即场论存在着“规范不变性”。按照一般观点,我们是将规范不变性看作是电磁场方程的一个结果,即推导出电磁场的方程后,“发现”它具有规范不变性。但是如果用本文的方法,即假定场有这种对称性,然后就可以构建出场方程了。可是,为什么场存在着规范不变性,我还未能思考清楚。据我阅读到的资料来看,这个不变性似乎跟广义不变性有关(电磁场也是,这似乎说明即使在平直时空的电磁场理论中也暗示了广义不变性?)。还有,似乎这个不变性需要在量子场论中才能得到比较满意的解释,可是这样的话,就离我还很远了。
好吧,我们还是先回到相对论力学的推导中。
“无”中生有
上一篇文章我们已经构建了相对论力学的无穷小生成元,并进行了延拓。我已经说过,仅需要无穷小的变换形式,就可以构建出完成的相对论力学定律出来(当然这需要一些比较“显然”的假设)。这是个几乎从“无”到有的过程,也是本文标题的含义所在。另一方面,这种从局部到整体的可能性,也给我们带来一些启示:假如方法是普适的,那么可以由此构造出我们需要的物理定律来,包括电磁场、引力场方程等。(当然,我离这个目标还有点远。)
如何看费曼的讲义和朗道的教程?
By 苏剑林 | 2014-03-25 | 63770位读者 | 引用本文很荣幸得到了高教社的王超编辑(新浪微博 @朗道集结号 )在微信上的推荐,在此表示十分的感谢。
朗道集结号
朗道、费曼、薛定谔、泡利、狄拉克、温伯格……大师在这里等着你,微信号:ldjjhwx
但是,结合自己在阅读他们的著作的感受,以及自己学习科学的过程,谈谈我对他们的著作的看法。
什么才是最简洁的方式?
相信不少读者觉得朗道的教程比费曼的讲义要深,感觉朗道的书总有大量的数学公式,而费曼的书则轻松一些。笔者开始也有这样的感觉,但是慢慢读下去,才感到费曼的书甚至比朗道的困难。
在进入讨论之前,我们不妨先想一下:什么才是理解物理的最简洁方式?数学越复杂,就越不好吗?
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