让风筝飞

最近的很多篇文章都是数论内容，属于纯数学的范畴了，对于很多只爱好物理或应用数学的读者可能会看得头晕了。今天我们来谈些不那么抽象的东西，我们来谈谈风筝，并来分析一下风筝的飞行力学。

爱情就像放风筝，线不能来得太紧，也不能拉得太松，你只会给对方飞翔的空间，他/她始终会回到你身边，因为有一条线系着双方。

风筝，在我们这个地方叫做纸鸢，相信大家童年时一定会放过。笔者小时候放风筝时，已经是小学五年级之前的事了。这个暑假突然童心一起，凭着小时候的回忆，简单做了个风筝来玩，居然真的飞起来了！兴奋之余，与大家分享一下。如今再来放风筝，真心感觉到放风筝也有很多技巧，让风筝飞，还不是件容易的事情呢，真可谓人生处处皆学问呀。上面关于风筝的比喻，正是放风筝的真实写照吧。

风筝可以说是人类摆脱地球重力的最原始尝试吧，跟发射宇宙飞船的火箭不同，风筝是借助风力来抵抗重力，严格来讲，即便是现在的飞机，也离不开这个原理（我们最后会谈到）。简单来讲，风筝就是用轻的支架撑开一个轻盈的平面，然后系上一个线圈。我们简单做一个风筝，只需要一张报纸，两条竹篾和一点透明胶，十分钟内就可以完成一个。当然，现在已经有各种各样的好看的风筝，甚至还有龙形的风筝，但是，自己动手简单做一个风筝，还是相当好玩的。

风筝自然是借助风力飞起来的，可是为什么风筝得用绳子牵着才能飞得更高、绳断了反而掉下来？风大多时，才适合放风筝？飞机又是怎么飞起来的？下面我们试着分析这些问题。

风起筝飞 #

我们首先来分析一下多大的风才能让风筝飞起来。仅仅出于定性分析考虑，我们不用力学定律一步步推导，而是采用量纲分析。我们知道风筝靠风力抵抗重力，那么估算一下风筝受到的风力跟那些因素有关？这里假设风很平稳地朝着一个方向、水平、匀速地吹着。风筝的面积$S$是其中之一，风筝面积越大，自然受的风力就越大；第二个显然的因素是风速$v$，风吹得越猛，风筝自然就越容易飞起来的；最后一个是空气密度$\rho$，同样是流体，同样的速度的水和空气，水的冲击力大很多，这就是因为水的密度大于空气的密度了。除此之外，也不应该和其他因素有关了。

风力$F$的单位是$\rm{kg}\cdot \rm{m}/\rm{s}^2$，面积$S$的单位是$\rm{m}^2$，风速$v$的单位是$\rm{m}/\rm{s}$，空气密度$\rho$的单位是$\rm{kg}/\rm{m}^3$，设
$$F=\lambda \rho^{\alpha} v^{\beta} S^{\gamma}$$
由于没有其他因素了，因此$\lambda$的量纲只能是1，而左右两边量纲必须相等，因此得到方程组
$$\begin{aligned}
\rm{kg}:&\alpha=1\\
\rm{m}:&-3\alpha+\beta+2\gamma=1\\
\rm{s}:&-\beta=-2
\end{aligned}$$
所以解得$\alpha=\gamma=1,\beta=2$，那么
$$F=\lambda \rho v^2 S$$
剩下的是常数$\lambda$了，而根据量纲分析，我们没办法确定常数。常数和风筝与风速的夹角有关，进一步的计算表明，该常数只是数量级为1的常数，因此出于定性分析考虑，我们直接写$F=\rho v^2 S$。该风力是用来抵抗重力的，因此只需要用$F > mg$来估计所需风速，$m$是风筝重量，$g$是重力加速度。这样子有
$$v > \sqrt{\frac{mg}{\rho S}}$$
记$\kappa=\frac{m}{S}$为风筝的平均面密度，空气密度大概是$1 \rm{m}/\rm{s}^3$，重力加速度取$10 \rm{m}/\rm{s}^2$，那么我们有
$$v > \sqrt{10\kappa}$$
报纸的面密度大概是$0.006 \rm{kg}/\rm{m}^2$，因此风筝的平均面密度也就是$0.01\rm{kg}/\rm{m}^2$左右吧，代入算得
$$v > 0.31 \rm{m}/\rm{s}$$
这只是数量级估计，但可以看到，很小的风就可以让风筝飞起来了。当然，实际放风筝还有很多因素影响着，比如，放风筝人的技巧，呵呵~~

为什么放风筝的时候需要绳子拉着？因为这样才能让风筝保持一定仰角，如果没有绳子，那么在重力作用下，风筝就趋向于水平，这样子实际上风筝的受风面积就是0了，也就是说它没有向上的升力了，就会慢慢下降，当然，由于空气浮力，它不会一下子就掉下来，但是浮浮沉沉地，也就落了下来。绳子拉着时，可以保持风筝的一定仰角，这样子受风面一直在，所以风筝才能飞起来。

让飞机飞 #

飞机太重了，估计再强的风都不能把它吹起来，那么还是有办法的——“风不动，我先动”，简单来说，就是运动是相对的。既然风怎么吹都达不到我的要求，那么我就自己跑。飞机靠着发动机以极快的速度向前奔着，相对来讲，也就是空气以极快的速度向我们奔来了，这就等于产生了极大的风速，于是飞机这个“巨大的风筝”就飞起来了。

当然，飞机飞行的原理复杂得多，但我们还是可以利用上面的速度估计公式，来估计一下飞机飞行的必要速度。飞机的重量以200吨来估计，飞机有效受风面积以以$100 \rm{m}^2$算（飞机很大，但不全是受风面积），这样子$\kappa=2000 \rm{kg}/\rm{m}^2$，代入得
$$v > 140 \rm{m}/\rm{s}$$
约合时速500公里，该估计偏大，我们只估计对了数量级，实际起飞速度大概是该值的二分之一。

让风筝飞，也让飞机飞~~

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