这一次又是数联天地论坛上的问题,这个数学论坛做的挺好的。^_^

已知五个定点A、B、C、D、E,求作五边形FGHIJ,使每一边的中点分别为5定点。

五边形问题

五边形问题

BoJone是习惯性地把这些题目用坐标来分析,如下图,把已知的五个顶点放到坐标系中,DE边为x轴,E为原点,并且设5个点分别为A(a,b);B(c,d);C(e,f);D(g,0);E(0,0)

五边形问题-坐标图

五边形问题-坐标图

倘若我们能够知道五边形FGHIJ任意一点,那么这个五边形就很容易做出来的。我们设法求出J点。设J点的坐标为(x,y),根据J、A、F共线,JA=AF,可以得到F的坐标为(2a-x,2b-y);同理,G点的坐标为(2c-2a+x,2d-2b+y);H点的坐标为(2e-2c+2a-x,2f-2d+2b-y);I点的坐标为(2g-2e+2c-2a+x,-2f+2d-2b+y);J点的坐标为(-2g+2e-2c+2a-x,2f-2d+2b-y)。

别忘了我们一开始设J=(x,y),所以应该有:
-2g+2e-2c+2a-x=x
2f-2d+2b-y=y

可以算出x=-g+e-c+a,y=f-d+b .天哪!作这个量实在太简单了吧!!只要把已知到的几个量加加减减就行了。

下面简单地说一下作法:

1、选择ED为x轴,E为原点,作出y轴
2、在y轴上分别画出AE、BE、CE的投影。
3、在y轴作出等于“AE、CE两投影之和减去BE的投影”的线段
4、在x轴上分别画出AE、BE、CE的投影
5、在x轴作出等于“AE、CE两投影之和减去BE的投影与ED之和”的线段
6、以3、5两步确定的坐标,作出点J
6、作直线JA,并截取AF=JA;接下来的步骤类似....直到把五边形画出来!

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苏剑林. (2010, Jul 25). 《已知中心五边形,作五边形 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/753