正十七边形的尺规作图存在之证明

在网上查找到的，好像有三个不同的版本，全部摘录在此。

关于正17边形的尺规作图方法，请看：
http://kexue.fm/article.asp?id=104

本文章只是证明它的存在（就是求出$\cos ({2\pi}/{17})$）。

$$\cos \frac{2\pi}{17}=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}$$

版本一（来自数学研发论坛）：

设正17边形中心角为$\theta$,则$17\theta=2\pi$,即$16\theta=2\pi-\theta$
故$\sin 16\theta=-\sin \theta$,而
$$\begin{aligned}\sin 16\theta=2\sin 8\theta \cos 8\theta=2^2\sin 4\theta \cos 4\theta \cos 8\theta \\ =2^4 \sin \theta \cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \cos 8\theta\end{aligned}$$
因$\sin \theta\neq 0$,两边除之有:
$$16\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \cos 8\theta=-1$$
又由$2\cos \theta \cos 2\theta=\cos \theta+\cos 3\theta$等,有
$$2(\cos \theta+\cos 2\theta+...+\cos 8\theta)=-1$$
注意到 $\cos 15\theta=\cos 2\theta,\cos 12\theta=\cos 5\theta$,令
$$\begin{aligned}x=\cos \theta+\cos 2\theta+\cos 4\theta+\cos 8\theta \\ y=\cos 3\theta+\cos 5\theta+\cos 6\theta+\cos 7\theta\end{aligned}$$
有:
$$x+y=-1/2$$
又$xy=(\cos \theta+\cos 2\theta+\cos 4\theta+\cos 8\theta)(\cos 3\theta+\cos 5\theta+\cos 6\theta+\cos 7\theta)$
$$=1/2(\cos 2\theta+\cos 4\theta+\cos 4\theta+\cos 6\theta+...+\cos \theta+\cos 15\theta)$$
经计算知$xy=-1$
又有
$$x=(-1+\sqrt{17})/4,y=(-1-\sqrt{17})/4$$
其次再设:$x_1=\cos \theta+\cos 4\theta,x_2=\cos 2\theta+\cos 8\theta$
$$y_1=\cos 3\theta+\cos 5\theta,y_2=\cos 6\theta+\cos 7\theta$$
故有$x_1+x_2=(-1+\sqrt{17})/4$
$$y_1+y_2=(-1-\sqrt{17})/4$$
解之可有: (大家自己解解吧~~~~)
最后,由$\cos \theta+\cos 4\theta=x_1,\cos \theta\cos 4\theta=(y_1)/2$
可求$\cos \frac{2\pi}{17}$，它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出

版本二（不知道来自哪个论坛了）：

版本三（PDF文件，也来源于网络）：
正十七边形作图的思路和方法介绍.zip

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