几个有关集合势的“简单”证明

我们这学期开设《实变函数》的课程，实变函数的第一章是集合。关于无穷集合的势，有很多异于直觉的结论。这些结论的证明技巧，正是集合论的核心方法。然而，我发现虽然很多结论跟我们的直觉相违背，但是仔细回想，它又没我们想象中那样“离谱”。而我们目前使用的教科书《实变函数论与泛函分析》（曹广福），却没有使用看来简单的证明，反而用一些相对复杂的定理，给人故弄玄虚的感觉。

一、全体实数不能跟全体正整数一一对应

这是集合论中的基本结论之一。证明很简单，如果全体实数可以跟全体正整数一一对应，那么$(0,1)$上的实数就可以跟全体正整数一一对应，把$(0,1)$上的全体实数表示为没有0做循环节的无限小数（比如0.1表示为0.0999...），那么设一种对应为：
$$\begin{aligned}&a_1=0.a_{11} a_{12} a_{13} a_{14}\dots\\
&a_2=0.a_{21} a_{22} a_{23} a_{24}\dots\\
&a_3=0.a_{31} a_{32} a_{33} a_{34}\dots\\
&\dots\dots
\end{aligned}$$
其中$a_{ij}$为0,1,2,...,9中的任意一个，表示$a_{i}$的第$j$位小数。现在构造一个数字
$$b=0.b_1 b_2 b_3 b_4\dots$$
其中$b_i=1$，如果$a_{ii}\neq 1$；$b_{i}=0$，如果$a_{ii} =1$。由$b$的构造方式可知，$b$不在$\{a_n\}$之中，这与假设矛盾。

以上的证明技巧被称为“对角线技巧”，是一种极其初等易懂的技巧，我记得我在初中的时候就能够看懂这个证明（虽然那时候还没有集合的明确概念）。可不知道为什么，我们的教科书却使用了区间套定理这种高大上的证明，难道是因为学过难懂的东西，就要使用难懂的证明？只有这样才显得我们学的数学“很高等”？我就不信我初中就可以看懂区间套定理了。

二、可数个连续统集合的并仍然是连续统

连续统集合就是势等于实数集的势的集合，实数集的势一般记为$C$。这个命题的证明非常容易，甚至就是显然成立的，却不知道为什么我们的教科书用上了一大堆让人讨厌的符号。

我们知道$[0,1)$上的实数集的势为$C$，$[1,2)$上的实数集的势为$C$，$[2,3)$上的实数集的势为$C$，...，这样一来
$$[0,1)\cup [1,2)\cup[2,3)\cup\dots=[0,\infty)$$
就是全体非负实数的集合，难道它的势不是$C$吗？

三、可数个可数集的并仍然可数

这个跟上面的证明是类似的。我们知道$[0,1)$上的有理数集可数，$[1,2)$上的有理数集可数，$[2,3)$上的有理数集可数，...，这样一来
$$[0,1)\cup [1,2)\cup[2,3)\cup\dots=[0,\infty)$$
就是全体非负有理数的集合，自然是可数的。

四、$\mathbb{R}^{\infty}$仍然是连续统

这里的$\infty$表示一个可数无穷大。这表明实数序列的集合$\{x_1 x_2 x_3 \dots\}$仍然跟实数本身一一对应，其中$x_i$是$(0,1)$的任意实数。这里的证明不一定是简单的，但是值得一提。

证明并不是十分困难，只要构造
$$\{x_1 x_2 x_3 \dots\}\mapsto (0,1)$$
的一个单射即可。我们只需要把元素$x_1 x_2 x_3\dots$映射到$y\in (0,1)$，$y$的构造如下（记$S_i (x)$为$x$的第$i$位小数）：
$$S_{(2^i+2^{i+1} j)} (y)=S_{j+1} (x_{i+1}),\quad i,j=0,1,2,\dots$$
看起来很玄，不知道怎么构造出来的？只需要写写前面几项，读者必然能够恍然大悟了~~这也是一种相当有用的集合证明的技巧。

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