这是一道很多时候都会考到的题目：
比较$n^{n+1}$与$(n+1)^n$的大小（其中n非负）。

在小学我们会使用直接计算；
在初中我们会从一些例子找规律；
在高中我们就会直接去证明了。

这道题目的答案是：当n>e时，有$n^{n+1}>(n+1)^n$。

我给出的证明有两个：

证明一：

要证$n^{n+1}>(n+1)^n$，等价于证明$n>\frac{(n+1)^n}{n^n}=(1+1/n)^n$。

而在研究e的时候可以知道，对于非负的n，$(1+1/n)^n$是单调递增的；而$\lim_{x->+\infty}(1+1/n)^n=e$，所以$(1+1/n)^n < e$。因此当n>e时，$n>\frac{(n+1)^n}{n^n}=(1+1/n)^n$是成立的。证毕。

证明二：

这个证明相对通用一些，可以用来比较$n^{n+m}$与$(n+m)^n$等情况。现在只讨论m=1的情况。

函数$(\frac{ln x}{x})'=\frac{1-ln x}{x^2}$，当x>e时，$\frac{1-ln x}{x^2}<0$，即此时函数$\frac{ln x}{x}$单调递减。若有e $$\frac{ln a}{a}>\frac{ln b}{b}<\Rightarrow \frac{ln a}{ln b}>\frac{a}{b}$$

而当n>e时，
$$n^{n+1}=(n+1)^{(n+1)\cdot \frac{ln n}{ln(n+1)}}>(n+1)^{(n+1)\cdot \frac{n}{n+1}}=(n+1)^n$$

证毕。

转载到请包括本文地址：https://kexue.fm/archives/132

更详细的转载事宜请参考：《科学空间FAQ》

如果您还有什么疑惑或建议，欢迎在下方评论区继续讨论。

如果您觉得本文还不错，欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益，而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然，如果你无视它，也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢！

如果您需要引用本文，请参考：

苏剑林. (Sep. 20, 2009). 《一道从小学到高中都可能考到的题目 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/132

@online{kexuefm-132,
        title={一道从小学到高中都可能考到的题目},
        author={苏剑林},
        year={2009},
        month={Sep},
        url={\url{https://kexue.fm/archives/132}},
}