齐次多项式不等式的机器证明（差分代换）

在高中阶段，笔者也像很多学生一样参加过数学竞赛，而在准备数学竞赛的过程中，也做过一些竞赛题，其中当然少不了不等式题目。当时，面对各种各样的不等式证明题，我总是非常茫然，因为看到答案之后，总感觉证明的构造非常神奇，但是每当我自己独立去做时，却总想不出来。于是后来就萌生了“有没有办法可以通用地证明这些不等式？”的想法。为了实现这个目的，当时就想出了本文的技巧——通过牺牲计算的简便性来换取证明的有效性。后来，我虽然没有走上数学竞赛这条路，但这个方法还是保留了下来，近日，在和数学研发论坛的朋友们讨论不等式问题时，重新拾起了这个技巧。

此前，在本博客的文章《对称多项式不等式的“物理证明”》中，已经谈到了这个技巧，只是限制于当时的知识储备，了解并不深入。而在本文中，则进行拓展了。这个技巧在当时是我自己在证明中独立发现的，而现在在网上查找时发现，前辈们（杨路、姚勇、杨学枝等）早已研究过这个技巧，称之为“差分代换”，并且已经探究过它在机器证明中的作用。该技巧可以很一般化地用于齐次/非其次不等式的证明，限于篇幅，本文只谈齐次多项式不等式，特别地，是对称齐次多项式不等式，并且发现某些可以简化之处。

基本例子

本文“老生常谈”地使用均值不等式
$$a^3+b^3+c^3\geq 3abc,\quad \forall a,b,c \geq 0$$
作为开篇说明例子。均值不等式有很多漂亮的证明方法，比如《均值不等式的两个巧妙证明》。这里使用差分代换进行“不巧妙”的证明。差分代换的技巧是假设$a\leq b\leq c$，然后使用如下代换：
$$\begin{aligned}a&=a\\
b&=a+u\\
c&=a+u+v
\end{aligned}\quad \forall a,u,v \geq 0$$
得到
$$\begin{aligned}&a^3+b^3+c^3-3abc\\
=&a^3+(a+u)^3+(a+u+v)^3-3a(a+u)(a+u+v)\\
=&3 a u^2+3 a u v+3 a v^2+2 u^3+3 u^2 v+3 u v^2+v^3\end{aligned}$$
因为最后的等式中项的系数都是正数，显然不小于0，因此该不等式就成立了。

同样的技巧可以用于非对称的不等式，比如$f(a,b,c)\geq 0$等，要求不等式在$a=b=c$时取到等号。但是由于$a,b,c$不对称，因此要对于$a,b,c$的所有序（共6种）都要用同样的方法证明一次（枚举）。而对称的作用，就是用来减少枚举的次数，比如存在一个轮换对称（或者叫循环对称），就可以将枚举次数降低为2，如果是像本例子中的全对称，则只需要进行一次检验。因为计算的过程中需要用了大量的多项式展开，尤其是变量较多或者次数较高时，人工往往难以完成，因此，差分代换技巧更适用于机器证明，即用软件来完成其中的复杂展开部分。

差分代换技巧适用范围非常广。下面我们来看一道31届IMO不等式预选题：
$$(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)\geq (ab+bc+ca)^3$$

本题是全对称不等式，即交换任意两个变量的位置，不等式还是原样，所以可以假设$a\leq b\leq c$，设$b=a+u,c=a+u+v$，有
$$\begin{aligned}&f(a,b,c)\\
=&(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)-(ab+bc+ca)^3\\
=&9 a^4 u^2 + 26 a^3 u^3 + 27 a^2 u^4 + 12 a u^5 + 2 u^6 + 9 a^4 u v + \\
&39 a^3 u^2 v + 54 a^2 u^3 v + 30 a u^4 v + 6 u^5 v + 9 a^4 v^2 + \\
&33 a^3 u v^2 + 48 a^2 u^2 v^2 + 30 a u^3 v^2 + 7 u^4 v^2 + \\
&10 a^3 v^3 + 21 a^2 u v^3 + 15 a u^2 v^3 + 4 u^3 v^3 + 3 a^2 v^4 + \\
&3 a u v^4 + u^2 v^4\end{aligned}$$
很长很复杂，的确，这是我用Mathematica展开的，不期望有学生在考场上使用类似技巧。但是差分代换确实是证明的一种有效手段，可以看出，最后的展开式，全部系数都是正的，因此不等式显然成立。

笔者今天还检验了很多类似的全对称不等式，均发现能够成功地实现证明，而且让我意外的是，目前我还没有找到最后的展开式出现负系数的全对称不等式。

轮换对称不等式

本节我们来证明轮换不等式：
$$4(a+b+c)^3 \geq 27(ab^2+bc^2+ca^2+abc),\quad \forall a,b,c\geq 0$$

本题不是全对称不等式，它具有一个轮换对称性，或者叫循环对称性，即在
$$\begin{aligned}&(a,b,c)\to(b,c,a)\\
&(a,b,c)\to(c,a,b)\end{aligned}$$
下保持不变。这使得我们可以确定一个最小值，比如$a$，然后分别假设$a\leq b\leq c$或$a\leq c\leq b$进行检验。

首先，记$F(a,b,c)=4(a+b+c)^3-27(ab^2+bc^2+ca^2+abc)$，对于$a\leq b\leq c$，设$b=a+u,c=a+u+v$，有
$$\begin{aligned}&F(a,a+u,a+u+v)\\
=&9 a u^2 + 5 u^3 + 9 a u v - 6 u^2 v + 9 a v^2 - 3 u v^2 + 4 v^3\end{aligned}$$
嗯？出现负系数了？不过不难处理，我们知道，$a$可以任意大，$u,v$则可以任意接近0，而不等式等号取在$u=v=0$时，那么$a$的次数实际上代表着各项的“阶”，为了处理负号项，我们把同阶的合并：
$$\begin{aligned}&F(a,a+u,a+u+v)\\
=&9 a u^2 + 5 u^3 + 9 a u v - 6 u^2 v + 9 a v^2 - 3 u v^2 + 4 v^3\\
=&9 a (u^2+uv+v^2) + (5 u^3 - 6 u^2 v - 3 u v^2 + 4 v^3)\end{aligned}$$
只需要注意到$5 u^3 - 6 u^2 v - 3 u v^2 + 4 v^3=(u - v)^2 (5 u + 4 v)$就完成了该情况的证明了。

而$a\leq c\leq b$，设$c=a+u,b=a+u+v$，有
$$\begin{aligned}&F(a,a+u+v,a+u)\\
=&9 a u^2 + 5 u^3 + 9 a u v + 21 u^2 v + 9 a v^2 + 24 u v^2 + 4 v^3\end{aligned}$$
这是简单的全正系数的情况，证明完毕。

下面来证明一条很艰深的不等式：
$$\frac{1}{4}\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{d}+\frac{d^2}{a}\right)\geq \sqrt{\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{4}},\forall a,b,c,d\geq 0$$

本题也是轮换对称不等式，可以把题目转化为证明
$$f(a,b,c,d)=\left[\frac{1}{4}\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{d}+\frac{d^2}{a}\right)\right]^4-\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{4}$$
的非负性，进而转化为

的非负性。$a,b,c,d$有$6! =24$种序，而轮换对称性使得序的数目减少为6。我们设$a$是最小值，依次就$b,c,d$的六种序情况进行证明。比如对$a\leq b\leq c\leq d$时，设$b=a+u,c=a+u+v,d=a+u+v+w$，展开得到一个600多行的多项式！！但是检验发现，每一项都是正系数的，于是也就完成了证明。对剩下的情况进行检验，发现只有当$a\leq c\leq d\leq b$和$a\leq c\leq b\leq d$这两种情况，才出现如下的负项
$$3248 d^{17} u^3+ 1936 d^{17} u w^2- 1360 d^{17} u^2 w$$
和
$$- 192 d^{18} u w +224 d^{18} w^2+224 d^{18} u^2$$
而这两项的非负性是显然的。

最后

本文提供的是一种“机器证明”，使用软件来不厌其烦地完成多项式的展开，直接通过判断系数的正性或者转化为一些简单的不等式来完成证明。令人惊奇的是，如果不等式是对所有的实数（而非局限于非负实数），该技巧的能力却有所欠缺，需要进一步转化才能使用，比如证明Vasible不等式$(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^3 b+b^3 c+c^3 a)$，该不等式对于一切实数的$a,b,c$都成立，但是就算我们将其局限于非负实数，用上面的技巧，无法一次直接证明，而需要进一步转化。

最后，需要解释的是，为什么本文强调“齐次”？事实上，齐次不等式才是算具有物理意义的不等式，齐次意味着左右两端的“量纲”相等，这也是我在前文说的“物理证明”的含义。如果是非其次的，不等式一般会在特定的点取等号，而不仅仅是$a=b=c$，这样会导致难度的增加。当然，我已经提及过，差分代换的应用其实非常广，经过拓展后可以用于很多非其次不等式的证明，不过这已经不在本文的范围内了。有兴趣的读者可以先阅读相关论文或书籍，有机会我们再回到这个话题上。

参考文献

《初等不等式的证明方法》 韩京俊 编著
《不等式机器证明与自动发现》 杨路 夏壁灿 著

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