三个相切圆的公切圆
By 苏剑林 | 2014-01-27 | 71678位读者 |在学车的时候,我堂大哥曾问我一道作圆的问题:
平面上给出三个两两相切的圆以及它们的圆心,求作一个圆与这三个圆都相切(尺规作图)。
如果从纯几何的途径入手,我们甚至很难判断这样的圆是否存在。但是我之前似乎已经看过类似的题目,于是很快想到一个名词:反演。反演可以将圆反演成直线(圆过反演点),也可以将圆反演成圆(圆不过反演点),而其他的相切、相交等关系保持不变。对反演后的图形进行相同的反演,就变回原来的图形。本题的难点在于圆太多,利用反演,我们可以将它变为两条直线和一个圆的问题。
假设读者已经有了反演的基本知识,如果没有,请到
http://zh.wikipedia.org/wiki/反演
阅读相关内容。
下面是作图步骤:
(1) 选择一个相切点,以相切点为圆心作一个圆(半径随意);
(2) 以(1)作的圆为基础圆,作给出的三个圆的反演像。其中两个圆变为两条平行直线,第三个圆依旧反演为圆,并与两直线相切。
(3)接下来的步骤就很容易了,显然我们可以作出两个圆,与反演像中的圆和两条直线都相切。作出这两个圆后,继续以(1)的圆为基础圆,将这两个圆反演回去,就得到了所求的圆,分别对应着三个圆的外切圆和内切圆。
转载到请包括本文地址:https://kexue.fm/archives/2320
更详细的转载事宜请参考:《科学空间FAQ》
如果您还有什么疑惑或建议,欢迎在下方评论区继续讨论。
如果您觉得本文还不错,欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!
如果您需要引用本文,请参考:
苏剑林. (Jan. 27, 2014). 《三个相切圆的公切圆 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/2320
@online{kexuefm-2320,
title={三个相切圆的公切圆},
author={苏剑林},
year={2014},
month={Jan},
url={\url{https://kexue.fm/archives/2320}},
}
August 1st, 2014
三个圆相离,作公切圆,好像是拿破仑的一个作图题。这可以通过三圆计算公切圆半径,这个半径如果是三圆半径通过各种开平方方式的结果就有解,如果有开三次方了作图就不行了
好像是有这么个和拿破仑相关的尺规作图题。这题用反演更简单些,当然,前提是知道反演。
April 14th, 2021
这样的圆 可以做出来 但是 无法证明 多个三线共点
April 28th, 2021
有办法去作图 证明 不会证明