【竖直上抛】炮弹能够射多高(第二宇宙速度)？

一枚炮弹以速度$v_0$向上射出，只考虑重力因素，请问炮弹到达多远的距离后就会开始自由下落？

对于这个问题，我们首先采取的是高中生的做法。考虑地球重力，也就是说炮弹在做加速度为-g（-9.8m/s²）的匀变速运动。根据公式$v_t^2-v_0^2=2as$，可得$s=\frac{v_0^2}{2g}$。
此即炮弹能够走得最远距离。

但是看了这条式子，我们会发现，这个“距离”始终是有限的。换一句话说，只要$v_0$不趋于无穷大，s就不会无穷大。但是我们还听到过牛顿这样说过：假如炮弹以某个速度（就是我们现在所所说的第二宇宙速度）飞离地球，它就永远不会回来了。两者不是矛盾吗？

看了之前我写的这篇文章的朋友，也是马上就有头绪了。这个加速度a并不是恒定的。恭喜你，答对了！但具体的情况是怎样的呢？请继续往下看——

设炮弹的路程为s，则在运动过程中：
$$s''=v'=-\frac{GM}{(r+s)^2}$$

令$s''=v \frac{dv}{ds}$，代入（这个过程是多么的熟悉）
$$vdv=-GM(r+s)^{-2} ds$$
两端积分：$\int vdv=\int -GM(r+s)^{-2} ds$
$$\frac{1}{2} v^2=GM(r+s)^{-1} +C$$
下面的处理有些不同：
当$v=v_0$时，有s=0，则
$$C=\frac{1}{2} v_0^2 - GMr^{-1}$$
得出：$v^2=v_0^2+2GM[(r+s)^{-1}-r^{-1}]$
炮弹走最远即当v=0时的s的值。于是有$0=v_0^2+2GM[(r+s)^{-1}-r^{-1}]$
$s=\frac{v_0^2 r^2}{2GM-v_0^2 r}$————（A）

其中又有$GM=r^2 g$，g是1kg物体在地球表面所受到的重力，代入
$$s=\frac{v_0^2 r}{2rg-v_0^2}=\frac{v_0^2}{2g-\frac{v_0^2}{r}}$$

若$\frac{v_0^2}{r}$很小，则可以忽略，得到低速近似的伽利略公式：$s=\frac{v_0^2}{2g}$
这与文章开头的结果是一致的。

我们发现，当$v=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$时，就会出现分母为0的情况，也就是说$s->\infty$，这时也就是牛顿所说的一去不复返（只是不复返回地球）。于是我们就自然而然地推导出了第二宇宙速度！$v=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$

Yeah！欢呼吧！科学应该要这样，尽管一点的成就，也应该雀跃。但是记住，不要沾沾自喜！

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