精确自由落体运动定律的讨论(二)
By 苏剑林 | 2010-01-09 | 55039位读者 |之前在这篇文章中,我们使用过一个牛顿引力场中的自由落体公式:
$t=\sqrt{\frac{r_0}{2GM}}{r_0 \cdot arctg \sqrt{\frac{r_0 -r}{r}}+\sqrt{r(r_0 -r)}}$——(1)
我们来尝试一下推导出这个公式来。同时,站长在逐渐深入研究的过程中,发现微分方程极其重要。以前一些我认为不可能解决的问题,都用微分方程逐渐解决了。在以后的文章里,我们将会继续体验到微分方程的伟大魔力!因此,建议各位有志研究物理学的朋友,一定要掌握微分方程,更加深入的,需要用到偏微分方程!
首先,质量为m的物理在距离地心r处的引力为$\frac{GMm}{r^2}$,根据牛顿第二定律F=ma,自然下落的物体所获得的加速度为$\frac{GM}{r^2}$。假设物体从距离地心r开始向地心自由下落,求位移s关于t的函数s=s(t).
根据根据加速度的定义,我们有:$\frac{d^2 s}{dx^2}=a=\frac{GM}{r^2}$,于是问题实质就是解常微分方程$s''=\frac{GM}{(r-s)^2}$。
接着我们令$s'=v$,则$s''=v(\frac{dv}{ds})$,代入上式:
$GM(r-s)^{-2} ds=vdv$,两端积分:
$$\begin{aligned}\int vdv = \int GM(r - s)^{ - 2} ds = - \int GM( r - s)^{ - 2}d(r - s) \\ \frac{1}{2} v^2 = GM[(r - s)^{ - 1} + C_1]\end{aligned}$$
根据实际情况,当t=0时,v=s=0,推出$C_1=-r^{-1}$,即
$$\begin{aligned}\frac{1}{2}v^2 = GM[(r - s)^{ - 1} - r^{ - 1}] \\ \frac{ds}{dt} = v = \sqrt {\frac{2GM}{r}} \sqrt {\frac{s}{r - s}} \end{aligned}$$
两端积分:
$$\int dt = \sqrt {\frac{r}{2GM}} \int (\sqrt {\frac{r - s}{s}} )ds =2\sqrt {\frac{r}{2GM}} \int (\sqrt {r - s} )d(s^{0.5}) $$
令$s^{0.5}=P$,则$2\int (\sqrt {r - s} )d(s^{0.5}) =2\int (\sqrt {r - p^2} )dp$
根据积分公式:$\int \sqrt{a^2-x^2} dx ={a^2}/2 arcsin \frac{x}{a} +x/2 \sqrt{a^2-x^2}+C$,得出
$$2\int (\sqrt {r - p^2} )dp=r\cdot arcsin \frac{p}{\sqrt{r}}+p \sqrt{r-p^2}+C$$
换回s,有:
$$2\int (\sqrt {r - s} )d(s^{0.5}) =r\cdot arcsin \sqrt{\frac{s}{r}}+\sqrt{s(r-s)}+C$$
则:
$$t=\sqrt{\frac{r}{2GM}}[r\cdot arcsin\sqrt{\frac{s}{r}}+\sqrt{s(r-s)}+C]$$
当s=0时,t=0,则C=0,得出:
$$t=\sqrt{\frac{r}{2GM}}[r\cdot arcsin\sqrt{\frac{s}{r}}+\sqrt{s(r-s)}]$$
而根据反三角函数公式:$arcsin \frac{a}{b}=arctg\sqrt{\frac{a^2}{b^2-a^2}}$,即得
$t=\sqrt{\frac{r}{2GM}}[r*arctg\sqrt{\frac{s}{r-s}}+\sqrt{s(r-s)}]$————(2)
不难看出,(1)(2)两式是等价的
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February 19th, 2010
微积分已经忘光了。
高一学生就懂2微积分啊。真不简单。
February 19th, 2010
你是生物专业的吧?或许哪天可能用到微积分的哦(在考虑那些什么结构之类的)...
我其实也是自学的而已,我身边没有一个同好。
February 20th, 2010
I
呵呵,我的专业是金属材料,属于大的机械类。大学时学的普通物理、高等数学等都忘光了。大学时学的东西,在现在最有用的是英语和机械制图。呵呵。
II
身边没有同好没有问题,网上有。
@I
我也得学好英语...有一句经典话:当你研究下去的时候,你会发现只有英语的资料可以看
@II
这话好,网络把四海之内的同好都联系起来了
February 20th, 2010
I
是的,很多前沿的资料都是英文的。对于一个搞(学术)研究的人,英文是不可或缺的。
II
这是互联网的神奇之处。
February 21st, 2010
(抒情中)觉得同站长经历挺像的,同是天涯沦落人啊!
或许这是人生的必经阶段,呵呵
May 16th, 2010
爱压,看了后我自己也了证一遍,一样耶。你好强
不能算什么,只是一个积分的推导而已
June 8th, 2015
同高一 同正在学微积分 同没有同好……