EAE：自编码器 + BN + 最大熵 = 生成模型

生成模型一直是笔者比较关注的主题，不管是NLP和CV的生成模型都是如此。这篇文章里，我们介绍一个新颖的生成模型，来自论文《Batch norm with entropic regularization turns deterministic autoencoders into generative models》，论文中称之为EAE（Entropic AutoEncoder）。它要做的事情给变分自编码器（VAE）基本一致，最终效果其实也差不多（略优），说它新颖并不是它生成效果有多好，而是思路上的新奇，颇有别致感。此外，借着这个机会，我们还将学习一种统计量的估计方法——$k$邻近方法，这是一种很有用的非参数估计方法。

自编码器vs生成模型 #

普通的自编码器是一个“编码-解码”的重构过程，如下图所示：

典型自编码器示意图

其loss一般为
\begin{equation}L_{AE} = \mathbb{E}_{x\sim \tilde{p}(x)}\left[\left\Vert x - \hat{x}\right\Vert^2\right] = \mathbb{E}_{x\sim \tilde{p}(x)}\left[\left\Vert x - D(E(x))\right\Vert^2\right]\end{equation}

当训练完成后，我们自然可以针对每一幅图像$x$，得到它的编码$z=E(x)$以及重构图$\hat{x}=D(z)$，而当$x$与$\hat{x}$足够接近时，我们就可以认为$z$是$x$的有效表征，它已经充分包含了$x$的信息。

那么，生成模型又是什么情况呢？“生成”指的是随机生成，也就是说允许我们能随机构建一幅图像来，对于自编码器的解码器$D(z)$，并不是每一个$z$解码出来的$D(z)$都是一幅有意义的图像，因此普通的自编码器并不能视为生成模型。如果我们能够事先知道所有的$x$编码出来的$z=E(x)$所构成的分布，并且这个分布是一个易于采样分布，那么就可以实现随机采样生成了。

所以，从自编码器到生成模型，缺的那一步就是确定隐变量$z$的分布，更准确来说，是迫使隐变量$z$服从一个易于采样的简单分布，比如标准正态分布。VAE通过引入KL散度项来达到这一点，那么EAE又是怎么实现的呢？

正态分布与最大熵 #

我们知道，最大熵原理是一个相当普适的原理，它代表着我们对未知事件的最客观认知。最大熵原理的一个结论是：

在所有均值为0、方差为1的分布中，标准正态分布的熵最大。

如果读者还不了解最大熵的相关内容，可以参考旧作《“熵”不起：从熵、最大熵原理到最大熵模型（二）》。上述结论告诉我们，如果我们能有某种手段保证隐变量的均值为0和方差为1，那么我们只需要同时最大化隐变量的熵，就可以得到“隐变量服从标准正态分布”这个目的了，即
\begin{equation}\begin{aligned}&L_{EAE} = \mathbb{E}_{x\sim \tilde{p}(x)}\left[\left\Vert x - D(E(x))\right\Vert^2
\right] - \lambda H(Z)\\
&\text{s.t.}\,\,\text{avg}(E(x))=0,\,\text{std}(E(x))=1
\end{aligned}\end{equation}
其中$\lambda > 0$是超参数，而
\begin{equation}H(Z)=\mathbb{E}_{z\sim p(z)}[-\log p(z)]\end{equation}
是隐变量$z=E(x)$对应的熵，最小化$- \lambda H(Z)$意味着最大化$\lambda H(Z)$，即最大熵。

问题是如何保证这两个约束呢？如果计算隐变量的熵呢？

均值方差约束与BN #

先来解决第一个问题：如何达到——至少近似地达到——“隐变量的均值为0、方差为1”这个约束？因为只有满足这个约束的前提下，最大熵的分布才是标准正态的。解决这个问题的办法是我们熟悉的批归一化，也就是BN（Batch Normalization）。

在BN的训练阶段，我们会直接对每个变量减去其batch内的均值并且除以batch内标准差，这保证了训练阶段每个batch的变量均值确实为0，方差确实为1；然后，它会将每个batch内的均值方差滑动平均并缓存下来，用于推断阶段的预测。总而言之，就是将BN应用于隐变量，就可以使得隐变量（近似地）满足相应的均值方差约束。对了，要说明的是，本文说的BN层，不包括$\beta,\gamma$这两个可训练参数，如果在Keras中，则是要在初始化BN层时传入参数scale=False, center=False。

此时，我们就得到
\begin{equation}L_{EAE} = \mathbb{E}_{x\sim \tilde{p}(x)}\left[\left\Vert x - D(\mathcal{N}(E(x)))\right\Vert^2\right] - \lambda H(Z)\label{eq:eae}\end{equation}
这里的$\mathcal{N}(\cdot)$代表BN层。

熵的采样邻近估计 #

现在，来到了整个EAE模型的最后一部分、同时也是最硬核的一部分了，也就是如何估计熵$H(Z)$。理论上来说，为了算$H(Z)$我们需要知道$p(z)$，但我们现在只有样本$z_1, z_2, \dots, z_n$而不知道$p(z)$的表达式，在这种前提下对$H(Z)$做的估计叫做非参数估计。

先给结论：

熵的最邻近估计 设$z_1,z_2,\dots,z_n\in\mathbb{R}^d$是从$p(z)$采样出来的$n$个样本，记$\varepsilon(i)$为$z_i$到它最邻近的样本的距离，即$\varepsilon(i) = \min\limits_{j\neq i} \Vert z_i - z_j \Vert$，$B_d$是$d$维单位球的体积，$\gamma=0.5772\dots$是欧拉常数，则 \begin{equation}H(Z)\approx \frac{d}{n}\sum_{i=1}^n \log \varepsilon(i) + \log B_d + \log (n - 1) + \gamma \label{eq:1nn}\end{equation}

抛开跟优化不相关的常数，上述结论实际上就是说$H(Z)\sim \sum\limits_{i=1}^n \log \varepsilon(i)$，这就是我们需要添加到loss的项。

这个看上去很奇怪、实际上确实也不容易理解的结果是怎么得来的呢？事实上，它是一种重要的估计方法——$k$邻近方法——的经典例子。下面将会给出它的推导过程，该过程参考自论文《A non-parametric k-nearest neighbour entropy estimator》。

让我们考虑特定的样本$z_i$，设$z_{i(k)}$是它的第$k$个最邻近的样本，即将所有的$z_j (j\neq i)$按照$\Vert z_j - z_i\Vert$从小到大排列，第$k$个就是$z_{i(k)}$，记$\varepsilon_k(i) = \left\Vert z_i - z_{i(k)}\right\Vert$，我们现在考虑$\varepsilon_k(i)$的概率分布。

假设$\varepsilon \leq \varepsilon_k(i) \leq \varepsilon + d\varepsilon$，那么就意味着剩下的$n-1$个样本之中，有$k-1$个落在了“以$z_i$为球心、以$\varepsilon$为半径”的球内，有$n-k-1$个落在了“以$z_i$为球心、以$\varepsilon+d\varepsilon$为半径”的球外，剩下一个夹在两球之间，不难得到这种情况发生的概率是
\begin{equation}\binom{n-1}{1}\binom{n-2}{k-1}P_i(\varepsilon)^{k-1}(1 - P_i(\varepsilon + d\varepsilon))^{n-k-1}(P_i(\varepsilon + d\varepsilon) - P_i(\varepsilon))\label{eq:dp-1}\end{equation}
其中$\binom{n-1}{1}$代表着从$n-1$个样本中挑出$1$个样本夹在两球之间的组合数，而$\binom{n-2}{k-1}$则是从剩下的$n-2$个样本中挑出$k-1$个样本放到球内的组合数（剩下的$n-k-1$个自动就在球外了）；$P_i(\varepsilon)$是单个样本位于球内的概率，即
\begin{equation}P_i(\varepsilon) = \int_{\Vert z - z_i\Vert \leq \varepsilon} p(z)dz\end{equation}
所以$P_i(\varepsilon)^{k-1}$是挑出来的$k-1$个样本都在球内的概率，$(1 - P_i(\varepsilon + d\varepsilon))^{n-k-1}$是$n-k-1$个样本都在球外的概率，$P_i(\varepsilon + d\varepsilon) - P_i(\varepsilon)$则是一个样本在球间的概率，所有项乘起来就是式$\eqref{eq:dp-1}$，而展开并只保留一阶项得到近似式：
\begin{equation}\binom{n-1}{1}\binom{n-2}{k-1}P_i(\varepsilon)^{k-1}(1 - P_i(\varepsilon))^{n-k-1}dP_i(\varepsilon)\label{eq:dp-2}\end{equation}
注意上式描述了一个合理的概率分布，因此它的积分必然为1。

现在我们可以做个近似假设，值得注意的是，这是整个推导过程的唯一假设，而最终结果的可靠程度也取决于这个假设的成立程度：
\begin{equation}p(z_i) \approx \frac{1}{B_d \varepsilon_k(i)^d}\int_{\Vert z - z_i\Vert \leq \varepsilon} p(z)dz = \frac{P_i(\varepsilon)}{B_d \varepsilon_k(i)^d}\end{equation}
其中$B_d \varepsilon_k(i)^d$就是半径为$\varepsilon_k(i)$的球的体积。根据这个近似我们有$p(z_i) B_d \varepsilon_k(i)^d \approx P_i(\varepsilon)$，看上去不合理，因为左端相当于一个常数，右端则是关于$\varepsilon$的函数，两者怎么能一直保持近似？事实上，当$n$足够大的时候，采样出来的样本足够稠密，这时候$\varepsilon$会集中在一个比较小的范围内，而$\varepsilon_k(i)$是$\varepsilon$某次采样的值，所以我们可以认为$\varepsilon$会集中在$\varepsilon_k(i)$附近。虽然$P_i(\varepsilon)$关于$\varepsilon$是变化的，但下面我们还要对$\varepsilon$进行积分，所以我们只需要在$\varepsilon_k(i)$附近对$P_i(\varepsilon)$做好近似进行，不需要整体都可以很好地近似（即$\varepsilon \gg \varepsilon_k(i)$时，$\eqref{eq:dp-2}$几乎为0）。而在$\varepsilon_k(i)$附近我们可以认为概率变化是平缓的，所以$p(z_i) B_d \varepsilon_k(i)^d \approx P_i(\varepsilon)$。

现在我们可以写出
\begin{equation}\log p(z_i) \approx \log P_i(\varepsilon) - \log B_d - d \log \varepsilon_k(i) \end{equation}
用$\eqref{eq:dp-2}$乘以上式两端，并对$\varepsilon$积分（积分区间为$[0,+\infty)$，或者等价于对$P_i$在$[0,1]$积分）。除$\log P_i(\varepsilon)$外，其余几项都是跟$\varepsilon$无关，所以积分后依然等于自身，而
\begin{equation}\begin{aligned}&\int_0^1 \binom{n-1}{1}\binom{n-2}{k-1}P_i(\varepsilon)^{k-1}(1 - P_i(\varepsilon))^{n-k-1} \log P_i(\varepsilon) d P_i(\varepsilon) \\
=&\psi(k)-\psi(n)\end{aligned}\end{equation}
其中$\psi$代表着双伽马函数。（别问我这些积分是怎么算出来的，我也不知道，但我知道用Mathematica软件能把它都算出来～）

于是我们得到近似
\begin{equation}\log p(z_i) \approx \psi(k)-\psi(n) - \log B_d - d \log \varepsilon_k(i) \end{equation}
所以最终熵的近似为：
\begin{equation}\begin{aligned}H(Z)=&\, \mathbb{E}_{z\sim p(z)}[-\log p(z)]\\
\approx&\, -\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log p(z_i)\\
\approx&\, \frac{d}{n}\sum_{i=1}^n \log \varepsilon_k(i) + \log B_d + \psi(n)-\psi(k)
\end{aligned}\label{eq:knn}\end{equation}
这是比式$\eqref{eq:1nn}$更一般的结果。事实上式$\eqref{eq:1nn}$是上式$k=1$时的特例，因为$\psi(1)=-\gamma$，而$\psi(n)= \sum\limits_{m=1}^{n-1}\frac{1}{m}-\gamma\approx \log(n-1)$，这些变换公式都可以在维基百科上找到。

开头就已经提到过，$k$邻近方法是一种很有用的非参数估计方法，它还跟笔者之前介绍过的IMLE模型有关。但笔者本身也不熟悉$k$邻近方法，还需要多多学习，目前找到的资料是《Lectures on the Nearest Neighbor Method》。此外，关于熵的估计，还可以参考斯坦福的资料《Theory and Practice of Differential Entropy Estimation》。

进一步思考与分析 #

有了$\eqref{eq:1nn}$或$\eqref{eq:knn}$，式$\eqref{eq:eae}$所描述的EAE的loss就完成了，所以EAE模型也就介绍完毕了。剩下的是实验结果，就不详细介绍了，反正就是感觉生成的图像跟VAE差不多，但指标上更优一些。

来自EAE论文的实验对比

来自EAE论文的效果图示

那EAE相比VAE的好处在哪呢？在VAE中，比较关键的一步是重参数（可以参考笔者的《变分自编码器（一）：原来是这么一回事》），就是这一步降低了模型训练的方差（相比REINFORCE方差更小，可以参考笔者的《漫谈重参数：从正态分布到Gumbel Softmax》），从而使得VAE可以有效地训练下去。然而，虽然重参数降低了方差，但事实上方差依然不小，简单来说就是重参数这一步带来较大的噪声（尤其是训练早期），导致decoder无法很好地利用encoder的信息，典型的例子就是将VAE用在NLP时的“KL散度消失”现象。

但是EAE基本上不存在这个问题，因为EAE基本上就是普通的自编码器，多加的BN不会对自编码性能有什么影响，而多加的熵正则项原则上也只是增加隐变量的多样性，不会给编码信息的利用与重构带来明显困难。笔者认为，这就是EAE相对于VAE的优势所在。当然，笔者目前还没有对EAE进行太多实验，上述分析多为主观推断，请读者自行甄别。如果笔者有进一步的实验结论，到时会继续在博客与大家分享。

最后补上一个小结 #

本文介绍了一个称之为EAE的模型，主要是把BN层和最大熵塞进了普通的自编码器中，使得它具有生成模型的能力。原论文做的不少实验显示EAE比VAE效果更好，所以应该是一个值得学习和试用的模型。此外，EAE的关键部分是通过$k$邻近方法来估计熵，这部分比较硬核，但事实上也很有价值，值得对统计估计感兴趣的读者细细阅读。

转载到请包括本文地址：https://kexue.fm/archives/7343

更详细的转载事宜请参考：《科学空间FAQ》

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