比萨斜塔.jpg

在初中或高中，自由落体试验简单地用这个公式来描述出来：
$$s=1/2 g t^2$$
其中$g=9.8m//s^2$，等于1kg物体在地球表面所受的重力。
但是这个公式很明显有一个问题，就是实际上在地球，g不是恒定的，会随着距离（即海拔高度）的变化而变化，上述公式能够在一定范围内描述自然落体运动。但是当距离很大时，公式便失效了。例如以下问题：

一个希腊神话中提到一个天神的一块铁掉了，花了整整九天才到达地面，只考虑地球引力因素，计算“天的高度”。

这是国际天文竞赛中的一道题目，很显然不能用$s=1/2 g t^2$计算。经过查找资料，我发现了这一条公式：
$$t=\sqrt{\frac{r_0}{2GM}}{r_0 \cdot arctg \sqrt{\frac{r_0 -r}{r}}+\sqrt{r(r_0 -r)}}$$

它表示从距离场中心$r_0$时下落到距离场中心$r$时所需的时间。

可以证明，在$r_0$很接近$r$时，该公式近似于$s=1/2 g t^2$。

现在我们可以用新的公式来求解天文奥赛的那道题目了。

首先我们得有一个思想：实际上天文的理论都是比较复杂的，我们在平时应用的时候，要设法把它近似、简化，下面的计算中我们将会体现这个思想。

我们已经知道了$t=9*86400s$、$r=6.371*10^6 m$，求$r_0$。

我们可以粗略估计得到$r_0$定会比$r$大得很，于是$\sqrt{\frac{r_0 -r}{r}}$必定很大，在这种情况之下我们可以认为$arctg \sqrt{\frac{r_0 -r}{r}}=\frac{\pi}{2}$。

同样，可以近似把$\sqrt{r(r_0 -r)}$写成$\sqrt{r r_0}$。变为：

$t=sqrt{\frac{r_0}{2GM}} [\frac{\pi r_0}{2}+\sqrt{r r_0}]$，并且有$GM=R^2 g$。 令$\sqrt{r_0}=x$，有

$$2rt\sqrt{2g}=\pi x^3+2\sqrt{r} x^2$$

如果忽略$2\sqrt{r} x^2$，则可以解得：$x=24525,r_0=6*10^5km$
如果当$2\sqrt{r} x^2=x^3$，则可以解得：$x=22367,r_0=5*10^5km$

官方给出的答案为51万km。

当然，这不是官方的解法，我们也不用特意掌握这种解法。这里只提供一个思路和方法给研究天体物理学的朋友们！

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苏剑林. (Dec. 26, 2009). 《精确自由落体运动定律的讨论 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/330

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        title={精确自由落体运动定律的讨论},
        author={苏剑林},
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