15 Nov

力学系统及其对偶性(三)

在上一篇文章中,我已经初步地从最小作用量原理的角度来观察对偶定律的表现。虽然那是一种便捷有效的方法,但是还是给我们流下了一些遗憾。上一节是从几何形式的作用量原理出发的,而没有在一般形式的作用量框架下讨论。因为如果在$S=\int Ldt=\int (T-U)dt$的形式下讨论坐标变换问题会出现困难,困难源于我们进行了变换$d\tau=|z|^2 dt$,这导致了时间和空间的耦合,变分不能简单地进行。但是,这并非无法解决的问题。我们还是可以在基本的作用量原理之下讨论变换问题。下面将对此问题进行讨论。

变分中的变量代换

考虑一个一般的保守系统的作用量:
$$S=\int_{t_1}^{t_2} L(q,\frac{dq}{dt})dt$$

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14 Nov

力学系统及其对偶性(二)

如果仅仅从牛顿第二定律的角度来进行变换推导,那么关于力学定律的对偶性的结果无疑仅仅是初等的。对于理论分析来说,更方便的是从做小作用量原理的形式出发,事实上,这种形式计算量也是很少的,甚至比直接代入运动方程变换更加便捷。

上一篇文章中我们讲到,变换$z \mapsto z^2$将一个原点为几何中心的椭圆映射为一个原点为焦点的椭圆,并且相信这种变换可以将胡克定律跟牛顿万有引力定律联系起来。然后就立即给出了变换$w=z^2,d\tau=|z^2|dt$。但是这个变换本身并不显然的,假如我们仅仅发现了$z \mapsto z^2$的几何意义,如何相应地得出$d\tau=|z^2|dt$这个变换呢?本文初步地解决这个问题。

几何作用量

让我们回顾力学的最小作用量原理:
$$ S = \int_{{t_1}}^{{t_2}} L dt = \int_{{t_1}}^{{t_2}} {(T - U)} dt $$

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8 Nov

力学系统及其对偶性(一)

写在前头

经过两年多的开发,本站所用的Typecho终于发布了新版,虽然还是beta,但是我还是迫不及待地升级了。当然,前台并没有变化,但是几乎整个程序都是重构了的,后台也更加清爽了。本文是新版程度的第一篇文章,使用Markdowm语法编写。

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牛顿Vs胡克

在所有的力学系统中,最简单的或许就是简谐运动了。它由一个最简单的常系数线性微分方程组描述:
$$\ddot{\boldsymbol{x}}+\omega^2 \boldsymbol{x}=0$$

这也就是物体在弹性形变的胡克定律所描述的力的作用下的运动情况。我们可以很快用三角函数写出该方程的精确解。相比之下,二体问题的解就复杂多了,虽然二体问题也是精确可解的,但是显然没有简谐运动那样简单明了。然而,除了都是有心力之外,它们之间还有一个共同点,它们的运动轨道都是椭圆!(严格来说是圆锥曲线,因为还可能有抛物线跟双曲线,但是不失一般性,本文只分析椭圆轨道)两者之间是否存在着某种联系呢?如果可以将二体问题转变为简谐运动,那么分析过程应该可以大大化简了?

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19 Aug

势能最小问题的探讨

本文我们来探讨下列积分的极值曲线:
$$S=\int f(x,y)\sqrt{dx^2+dy^2}=\int f(x,y)ds$$

这本质上也是一个短程线问题。但是它形式比较简答,物理含义也更加明显。比如,如果$f(x,y)$是势函数的话,那么这就是一个求势能最小的二维问题;如果$f(x,y)$是摩擦力函数,那么这就是寻找摩擦力最小的路径问题。不管是哪一种,该问题都有相当的实用价值。下面将其变分:

$$\begin{aligned} \delta S =&\int \delta[f(x,y)\sqrt{dx^2+dy^2}] \\ =&\int [ds\delta f(x,y)+f(x,y)\frac{\delta (dx^2+dy^2)}{2ds}]\\ =&\int ds(\frac{\partial f}{\partial x}\delta x+\frac{\partial}{\partial y}\delta y)+f \frac{dx d(\delta x)+dy d(\delta y)}{ds} \\=&\int ds(\frac{\partial f}{\partial x}\delta x+\frac{\partial}{\partial y}\delta y)+f \frac{dx}{ds} d(\delta x)+\frac{dy}{ds} d(\delta y) \end{aligned}$$

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22 Jul

《虚拟的实在(4)》——质量是什么

笔者很少会谈到定义性的东西,原因很简单,因为我也不见得会比大家清楚,或者说也未必比大家所知道的准确。不过,刚刚与同好讨论过与质量相关的问题,就跟大家分享一下。

最初的问题是能量能不能转化为物质,我觉得根据$E=mc^2$,是显然可以的,例子嘛,我首先想到在量子场论中的真空是会不断产生和湮灭正负电子对的,因此这可以作为一个证据。但是这个感觉上太遥远了,所以我在互联网搜索了一下,不过搜到的内容大同小异:

当辐射光子能量足够高时,在它从原子核旁边经过时,在核库仑场作用下,辐射光子可能转化成一个正电子和一个负电子,这种过程称作电子对效应。
正负电子对效应

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20 Jul

洗手盆里的学问

农村的孩子免不了常做家务,当然我家也没有什么特别沉重的家务,通常都是扫地、做饭、洗菜这些简单的活儿。说到洗菜,洗完菜后总喜欢边放水边搅水,然后就在水面上形成一个颇为有趣的漩涡。现在我们从数学物理的角度来分析一下这个漩涡。

在讲洗手盆的漩涡之前,我们先来看一下一个比较类似的、更古老的问题——牛顿的旋转液面问题。牛顿假设有一个水桶(假设为圆柱形吧,但这不重要),水桶在绕自己的中轴线匀角速度旋转,直到桶内的水也随着匀角速度旋转(即水与水桶相对静止),此时水的液面形状是凹的,我们来看看该液面的形状。

牛顿的水桶

要分析形状,我们还要回顾之前提到过的流体静力学平衡:
http://kexue.fm/archives/1964/

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20 Jun

《虚拟的实在(3)》——相对论动力学

半个多月没有写文章了,一是因为接近期末考了,比较忙,当然最主要的原因还是人变懒了,呵呵,别人是忙里偷闲,我是闲里偷懒了。

这篇文章主要跟大家分享一下相对论动力学的知识。我们之前已经接触过相对论的坐标变换了,接下来的任务应该是把经典力学的动力学定律改成为相对论版本的,这显然也是学习场论的必经之路——懂得如何构造力学定律的相对版版本,是懂得构造相对论性场的基础。和朗道的《力学》与《场论》一样,我们的主线就是“最小作用量原理”。让我们回忆一下,在经典力学中,一个自由粒子的作用量是

$$S_m=\int Ldt=\int \frac{1}{2} m v^2dt$$

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7 Jun

《虚拟的实在(2)》——为什么引力如此复杂?

上一篇文章里我已经从我自己的理解角度简单说了一下场论的必要性,这次让我们再次谈到这个话题,企图在文字层面上得到更深入的认识。

上一两周的时间,我一直在找资料,主要是线性引力的资料,并且发现了很多有趣的东西,在此一并与大家分享一下。首先,当我在Google中输入“线性引力”时,我发现了一本“奇书”,一本名副其实的“巨著”——《引力论》!洋洋1300多页的大作,三位“超级巨星”——C.W.麦思纳(Charles W.Misner)、K.S.索恩(Kip S.Thorne)、J.A.惠勒(John Archibald Wheeler)——联合编写,恐怕再也找不到哪本书可以PK它的“全明星阵容”了。该书英文名为Gravitation,中文是由台湾翻译的,繁体中文版。全书讲述了引力的研究历史和发展情况,更重要的是几乎每一处历史都给出了数学论证!最最重要的,作者惠勒还是跟爱因斯坦同一个研究时代的人,我们可以最真实的感受到那年代的研究。看到这里,我就迫不及待地想买了,由于各种原因,我们很难买到,到图书馆找,发现有英文版的,就马上借过来了,另外因为买不到中文版,我只好到网上买了电子版,然后打印出来了。不过不是很清晰,而且自我感觉中文翻译不是很好(当然,已经够我们阅读了)。

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