力学系统及其对偶性（一）

写在前头

经过两年多的开发，本站所用的Typecho终于发布了新版，虽然还是beta，但是我还是迫不及待地升级了。当然，前台并没有变化，但是几乎整个程序都是重构了的，后台也更加清爽了。本文是新版程度的第一篇文章，使用Markdowm语法编写。

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牛顿Vs胡克

在所有的力学系统中，最简单的或许就是简谐运动了。它由一个最简单的常系数线性微分方程组描述：
$$\ddot{\boldsymbol{x}}+\omega^2 \boldsymbol{x}=0$$

这也就是物体在弹性形变的胡克定律所描述的力的作用下的运动情况。我们可以很快用三角函数写出该方程的精确解。相比之下，二体问题的解就复杂多了，虽然二体问题也是精确可解的，但是显然没有简谐运动那样简单明了。然而，除了都是有心力之外，它们之间还有一个共同点，它们的运动轨道都是椭圆！（严格来说是圆锥曲线，因为还可能有抛物线跟双曲线，但是不失一般性，本文只分析椭圆轨道）两者之间是否存在着某种联系呢？如果可以将二体问题转变为简谐运动，那么分析过程应该可以大大化简了？

天体力学

本文我们只考虑平面情况，因此上述方程可以用复数表示为：
$$\ddot{z}+\omega^2 z=0$$

此时用复数来表示是很方便的，我们可以直接写出它的解为：$z=pe^{i\omega t}+qe^{-i\omega t}$，只要两边展开就容易验证这确实是一个以对称中心为原点的椭圆方程。（不妨只考虑p、q为实数的情况，因为p、q为虚数只不过是将椭圆以原点为中心旋转了一个角度罢了）

考虑变换$z \mapsto z^2$，轨道会变成什么呢？$z^2=p^2 e^{2i\omega t}+q^2 e^{-2i\omega t}+2pq$，这并不是什么奇怪的曲线，而是另外一个椭圆，以焦点为原点的椭圆！（请验证它）变换前是简谐运动的轨道形状，变换后是二体问题的轨道，我们有理由相信变换$z \mapsto z^2$把二体问题跟简谐运动联系在了一起。

事实上，答案是通过变换$w=z^2,d\tau=|z^2|dt$就可以将简谐运动方程$\ddot{z}+\omega^2 z=0$转换为二体问题的方程：$\frac{d^2 w}{d\tau^2}=-\frac{C w}{|w|^3}$。这被称为波林定理（theorem of Bohlin）。要完成这个证明，只需要进行简单的微积分计算。

$$\begin{aligned}\frac{{dw}}{{d\tau }} &= 2z\frac{{dz}}{{d\tau }} = 2z\frac{{dz}}{{dt}}\frac{1}{{|{z^2}|}}= \frac{2}{{\bar z}}\frac{{dz}}{{dt}}\frac{{{d^2}w}}{{d{\tau ^2}}} \\
&= \frac{d}{{|{z^2}|dt}}(\frac{2}{{\bar z}}\frac{{dz}}{{dt}})= \frac{2}{{z\bar z}}(\frac{1}{{\bar z}}\frac{{{d^2}z}}{{d{t^2}}} - \frac{1}{{{{\bar z}^2}}}\frac{{dz}}{{dt}}\frac{{d\bar z}}{{dt}})\\
&= - \frac{2}{{z\bar z}}(\frac{{{\omega ^2}z}}{{\bar z}} + \frac{1}{{{{\bar z}^2}}}\frac{{dz}}{{dt}}\frac{{d\bar z}}{{dt}})= - \frac{2}{{z{{\bar z}^3}}}({\omega ^2}|z{|^2} + |\frac{{dz}}{{dt}}{|^2})\\
&= - \frac{{4E}}{{z{{\bar z}^3}}} = - \frac{{4E{z^2}}}{{{z^3}{{\bar z}^3}}}\\
&= - \frac{{4Ew}}{{|w{|^3}}} \end{aligned}$$

最后一步中$E=\frac{1}{2}\omega^2|z|^2+\frac{1}{2}|\frac{dz}{dt}|^2$是简谐运动$\ddot{z}+\omega^2 z=0$的能量守恒定律。这基本上就是二体问题的全部结果了，它揭示了万有引力定律和胡克定律之间的相互对偶关系。牛顿在他的《原理》中已经初步揭示了这个结果（他是用几何分析的，那时候他还不懂的复分析的工具。）这表明，用现代的复变函数可以建立在不同中心力场中的运动之间的关系。

事实上，欧拉很早就发现，对于一维的二体问题方程$\frac{d^2 x}{dt^2}=-\frac{c}{x^2}$，可以通过$u=\sqrt{x},dt=xd\tau$将其变换成$\frac{d^2 u}{d\tau^2}+2Eu=0$的简谐运动。至于上述的波林定理是二维推广。波林、卡斯纳（E.Kasner）、阿诺尔德（V.I.Arnol'd）是该定理的第一批发现者，其中上面的基本上就是波林发现的内容，而卡纳斯和阿诺尔德则发现了下面的更一般的结果。

力学定律的对偶

复平面上的点z在一有心力场中运动，力与中心距离的a次幂成正比。在变换$w=z^{\alpha}$下，z的轨道将变成与到中心距离的A次幂成正比的中心力场中的运动的轨迹，这里A由下式确定：
$$(a+3)(A+3)=4,\alpha=\frac{a+3}{2}$$

这样一来，每一种幂次的有心力场都有另外一种有心力场跟它对偶。而自对偶对应于a=-1和a=-5。这在牛顿的《原理》也有所提及。至于定理的证明，只需要重复上面的计算，就可以得到：

$$\begin{aligned} \frac{d^2 z}{dt^2}=-z|z|^{a-1},d\tau=|z|^{a+1} \\
\frac{d^2 w}{d\tau^2}=-Cw|w|^{A-1},C=2E\alpha(\alpha-1)\\
2E=|\frac{dz}{dt}|^2+\frac{2|z|^{a+1}}{a+1}\end{aligned}$$

（以上结果摘自《惠更斯与巴罗，牛顿与胡克：数学分析与突变理论的起步，从渐伸线到准晶体》）

而且，使用四元数这一工具，还可以这些对偶定律进行高维推广。如果读者感觉这似乎只是一个数学变换游戏，那就不正确了。事实上，这不仅仅是一个变换游戏，而且还具有很大计算上的应用价值。比如二体问题的变换，如果直接数值计算二体问题，由于在原点处$-\frac{4Ew}{|w|^3}$具有奇性，因此给计算带来困难。而变换之后的简谐运动方程不具有奇性，可以方便地进行计算。

另外，在量子力学中，二体问题的对偶变换对应于Kustaanheimo-Stiefel变换，它是费曼的路径积分计算氢原子问题的基础！更多内容，将在下一篇文章谈到。

参考文献：
《复分析-可视化方法》（5.10 天体力学）
《经典力学的数学方法》（8.在有心力场中运动的研究）
《惠更斯与巴罗，牛顿与胡克：数学分析与突变理论的起步，从渐伸线到准晶体》
The Kustaanheimo-Stiefel transformation in geometric algebra

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