科学空间|Scientific Spaces

笔录：在假期基本上是没有什么机会接触到英语的，平时看的数学物理书一般都是中文版的，因为现在学得还很浅，很少会有非找英语资料不可的时候。不过英语的重要性不言而喻，因此多练习一下还是必须的。突然想起很久没有翻译过文章了，就到《科学美国人》杂志上找了一篇有关夏季星空的小短文来练练笔。在此献丑了。

这个夏天的星空之夜，观星爱好者可以看到恒星发出彩虹般的色彩。
By Joe Rao and SPACE.com

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最近打算记录一下过去生活的点点滴滴，于是便起了要找一个写作软件的想法。为什么呢？像Word之类的软件的确可以很完美地完成文档编辑的工作，可是写作并不是写论文，我想要的是一个能够让我有写作的惬意之感的软件，这显然是Word这类“巨无霸”所不能胜任的。上网搜索了一下，找到一个还算满意的软件——CreaWriter。

CreaWriter_1

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本文我们来探讨下列积分的极值曲线：
$$S=\int f(x,y)\sqrt{dx^2+dy^2}=\int f(x,y)ds$$

这本质上也是一个短程线问题。但是它形式比较简答，物理含义也更加明显。比如，如果$f(x,y)$是势函数的话，那么这就是一个求势能最小的二维问题；如果$f(x,y)$是摩擦力函数，那么这就是寻找摩擦力最小的路径问题。不管是哪一种，该问题都有相当的实用价值。下面将其变分：

$$\begin{aligned} \delta S =&\int \delta[f(x,y)\sqrt{dx^2+dy^2}] \\ =&\int [ds\delta f(x,y)+f(x,y)\frac{\delta (dx^2+dy^2)}{2ds}]\\ =&\int ds(\frac{\partial f}{\partial x}\delta x+\frac{\partial}{\partial y}\delta y)+f \frac{dx d(\delta x)+dy d(\delta y)}{ds} \\=&\int ds(\frac{\partial f}{\partial x}\delta x+\frac{\partial}{\partial y}\delta y)+f \frac{dx}{ds} d(\delta x)+\frac{dy}{ds} d(\delta y) \end{aligned}$$

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转山

刚看完了电影《转山》，挺感动的，总觉得好像不写点东西就对不起这部电影了。

这还需要从上学期选公选课谈起。上学期我选择的公选课是数据库，而体育课则是太极，接近期末考的时候又重新选公选课了，我想选修一门轻松点、惬意点的课程，刚开始是选择了书法，后来看到了“自行车出行与户外旅游”，有点心动，再看上课老师，原来就是我们的太极老师，上了一学期的太极，跟他有些熟悉，也觉得他很好相处，就觉得选择这门课程了。

上一周二是这门课程是第一次课，老师讲得很精彩，而事实上，我唯一能够全程专心听课的就只有两门课程，一门就是这个公选课，另外就是马克思列宁主义（奇怪吧？确实是，马列老师讲得真的很精彩，我几乎没有分过神）。《转山》这部电影也是上公选课的时候老师推荐的，是根据同名小说改编的。大体的情节是一个台湾年轻人，只身踏上骑自行车从丽江到拉萨的旅途。影片描绘了他路上的崎岖行程，描绘了一路上的风土人情，让人颇为深刻。

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如果仅仅从牛顿第二定律的角度来进行变换推导，那么关于力学定律的对偶性的结果无疑仅仅是初等的。对于理论分析来说，更方便的是从做小作用量原理的形式出发，事实上，这种形式计算量也是很少的，甚至比直接代入运动方程变换更加便捷。

上一篇文章中我们讲到，变换$z \mapsto z^2$将一个原点为几何中心的椭圆映射为一个原点为焦点的椭圆，并且相信这种变换可以将胡克定律跟牛顿万有引力定律联系起来。然后就立即给出了变换$w=z^2,d\tau=|z^2|dt$。但是这个变换本身并不显然的，假如我们仅仅发现了$z \mapsto z^2$的几何意义，如何相应地得出$d\tau=|z^2|dt$这个变换呢？本文初步地解决这个问题。

几何作用量

让我们回顾力学的最小作用量原理：
$$ S = \int_{{t_1}}^{{t_2}} L dt = \int_{{t_1}}^{{t_2}} {(T - U)} dt $$

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最近的我的主要学习是在研究路径积分，在推导路径积分的一种新的变换方法（或者是一个新的视角吧），但是有道坎还是迈不过去，因此blog中也一直更新寥寥。说到积分与微分，这两个本是互逆的东西，但是在复数的统一之下，它们两个去可以相互转化。比如说，薛定谔方程是量子力学的微分形式，而路径积分实际上可以说是量子力学的积分形式，这让我有些想法，是不是任何微分形式的数学都存在一个积分形式的版本呢？如果是，是微分版本优还是积分版本优？

在数学分析中，我们会感觉到求导会比求积分容易很多，求导有现成的公式等等。但是微分有个最大的缺点，它是多分量的，比如，势函数是一个标量，但是微分（求梯度）之后就变成了三分量的矢量（即作用力），多分量事实上是不好处理了，为了处理这类问题，又引入了大量的算符。积分的特点在于它的标量性，也许计算很复杂，但是思想确实容易把握的，我更喜欢积分形式的理论（比如作用量原理、路径积分等。）

说到数学分析中常见而又著名的定积分，不得不提到以下三角函数积分了。
$$\int_0^{\pi/2} \sin^{2n} \theta d\theta$$
不难证明，它也等于
$$\int_0^{\pi/2} \cos^{2n} \theta d\theta$$

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快要学期末了，不少学霸开始忙碌起来了。不过对非学霸的我来说，基本上每天都是一样的，希望把自己感兴趣的东西深入研究下去，因为我觉得，真正学会点有用的东西才是最重要的。数学分析和高等代数老师都要求写课程论文，我也写了我比较感兴趣的“欧拉数学”和“超复数研究”，之后会把这部分内容与大家分享。

虽然学期已经接近尾声了，但是我们的课程还没有上完。事实上，我们的新课一直上到十八周~随着考试的接近，我们的《高等代数》课程也已经要落幕了。最近在上的是二次型方面的内容，讲到正定二次型和正定矩阵。关于正定矩阵的判别，教科书上提供了两个判别方法，一个是基于定义的初等变换，另外一个就是主子式法。前者无可厚非，但是后者我似乎难以理解——它虽然是正确的，但是它很丑，计算量又大。我还没有想清楚主子式法到底有什么好的？在我看来，本文所探讨的基于二次方程判别式的方法才是简单、快捷的。

正定二次型
所谓正定二次型，就是关于n个变量$x_1,x_2,...,x_n$的二次齐次函数，只要$x_i$不全为0，它的值恒为正数。比如
$$2 x_1^2+x_2^2-2 x_1 x_2=x_1^2+(x_2-x_1)^2$$
这是一个比较简单的正定二次型，多元的还有
$$5 x_1^2+x_2^2+5 x_3^2+4 x_1 x_2-8 x_1 x_3-4 x_2 x_3$$

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在文章《新理解矩阵3》：行列式的点滴中，笔者首次谈及到了行列式的几何意义，它代表了n维的“平行多面体”的“体积”。然而，这篇文章写于我初学矩阵之时，有些论述并不严谨，甚至有些错误。最近笔者在写期末论文的时候，研究了超复数的相关内容，而行列式的几何意义在我的超复数研究中具有重要作用，因此把行列式的几何意义重新研究了一翻，修正了部分错误，故发此文，与大家分享。

一个$n$阶矩阵$A$可以看成是$n$个$n$维列向量$\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,...,\boldsymbol{x}_n$的集合
$$A=(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)$$
从代数的角度来看，这构成了一个矩阵；从几何的角度来看，这$n$个向量可以建立一个平行$n$维体。比如：平行四边形就是“平行二维体”，平行六面体就是“平行三维体”，高阶的只需要相应类比，不需要真正想象出高维空间的立体是什么样。

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