科学空间|Scientific Spaces

简介

最近在学习量子力学的时候，无意中涉及到了许多矩阵（线性代数）、群论等知识，并且发现其中有不少相同的思想，其中主要是用算子来表示其对函数的作用和反作用。比如我们可以记$D=\frac{d}{dx}$，那么函数$f(x)$的导数就可以看作是算子D对它的一次作用后的结果，二阶导数则是作用了两次，等等。而反过来，$D^{-1}$就表示这个算子的反作用，它把作用后的函数（像）还原为原来的函数（原像），当然，这不是将求导算子做简单的除法，而是积分运算。用这种思想来解答线性微分方程，有着统一和简洁的美。

线性微分方程是求解一切微分方程的基础，一般来说它形式比较简单，多数情况下我们都可以求出它的通解。在非相对论性量子力学的薛定谔方程中，本质上就是在求解一道二阶偏线性微分方程。另一方面，在许多我们无法求解的非线性系统中，线性解作为一级近似，对于定性分析是极其重要的。

一阶线性常微分方程

这是以下所有微分方程求积的一个基础形式，即$\frac{dy}{dx}+g(x)y=f(x)$的求解。这是通过常数变易法来解答的，其思想跟天体力学中的“摄动法”是一致的，首先在无法求解原微分方程的时候，先忽略掉其中的一些小项，求得一个近似解。即我们先求解
$$\frac{dy}{dx}+g(x)y=0$$

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不可交换

很自然会想到把这种方法延伸到变系数微分方程的求解，也许有读者回去自己摆弄了一下却总得不到合适的解而感到困惑。在这里群的非Abel性就体现出来了，首先用一个例子来说明一下，我们考虑算子的复合
$$(D-x)(D+x)=D^2-x^2+(Dx-xD)$$

我们要谨慎使用交换律，我们记$[P,Q]=PQ-QP$

其中P和Q是两个算子，此即量子力学中的“对易式”，用来衡量算子P和算子Q的可交换程度，当然，它本身也是一个算子。我们先来求出$[D,x]$给出了什么（要是它是0的话，那就表明运算可以交换了）。究竟它等于什么呢？直接看是看不出的，我们把它作用于一个函数：
$$[D,x]y=(Dx-xD)y=D(xy)-xDy=yDx+xDy-xDy=y$$

由于“近水楼台先得月”，所以$Dxy$表示x先作用于y，然后D再作用于(xy)；而$xDy$表示D先作用于y，然后x再作用于Dy。最终我们得到了

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传说中的“末日”，正好是中国传统的冬至节。它的到来并没有引起我们的恐慌，反而，让我有一颗更加平静的心去享受“过冬”的乐趣。

冬至在我们农村是很重要的一个节日，一般来说全家人都要聚在一起吃顿饭，还会包粽子等等。来到广州之后，回去就自然不大方便了，不过我还是想找找那种节日的感觉。于是，下午我就跑到华师西门那里，看看有没有粽子卖。不过发现西门那里基本上都是一些风味小吃，没有那久违的粽子香。不过，忽然想起小飞说她们那里冬至是吃汤圆的，好吧，入乡随俗，我也买了两包汤圆回宿舍煮啦。

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也许当我们从小学数学进入中学数学的过程中，让我们最郁闷的事情就是课本上把用的好好的角度制改为弧度制了，那个好好的360°的周角无端端变成了一个无理数$2\pi$，为此还多了一堆转换公式，那时这可把我折腾了好一阵子。为什么一个完美的360°不用，反而转向一个无理数$2\pi$？这里边涉及到了相当多的原因，在这些原因中，重新体现了数学体系的一致与简约。当然，文章里的观点只是我自己的看法，仅供大家参考。

弧度制：简约的要求

如果读者已经学过了极限理论，那么我就可以直接说，引入弧度制，是为了在这样的一种角的度量体制下，满足：
$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$$

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我们之前通过矩阵变换方式推导出了洛伦兹变换以及速度合成公式等结论，不得不说，矩阵推导方式有种引人入胜的魅力。今天，在讲述相对论（包括电动力学、广义相对论）的书籍里边，在数学形式上取而代之了张量这一工具，这实际上是对矩阵的一个推广（之前已经提到过，二阶张量相当于矩阵）。采用这样的形式在于它充分体现了相对论的对称和变换关系。本文将来谈及狭义相对论的一些基本结论，包括同时性、长度收缩、时间延缓等。

本文的光速$c=1$。

同时的相对性

在同一时空中，采取两个时空坐标进行洛伦兹变换，再作差，我们得到：
\begin{equation}\left[\begin{array}{c} \Delta x\\ \Delta t \end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\left[\begin{array}{c c}1 & v\\ v & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\Delta x'\\ \Delta t' \end{array}\right]\end{equation}

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阿达马不等式
设有$n$阶实矩阵$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}$，那么它的行列式满足阿达马(Hadamard)不等式
$$\begin{equation}
\left(\det \boldsymbol{A}\right)^2 \leq \prod\limits_{i=1}^{n}\left(a_{1i}^2+a_{2i}^2+\dots+a_{ni}^2\right)
\end{equation}$$

这是阿达马在1893年首先发表的。根据体积就是行列式的说法，上述不等式具有相当明显的几何意义。当$n=2$时，它就是说平行四边形的面积不大于两边长的乘积；当$n=3$时，它就是说平行六面体的体积不大于三条棱长的乘积；高维可以类比。这些结论在几何中几乎都是“显然成立”的东西。因此很难理解为什么这个不等式在1893年才被发现。当然，代数不会接受如此笼统的说法，它需要严格的证明。

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向量之间的运算有点积和叉积（Cross Product，向量积、外积），其中点积是比较简单的，而且很容易推广到高维；但是叉积不同，一般来说它只不过是三维空间中的东西。叉积的难以推广在于它的多重含义性，如果将向量及其叉积放到张量里边来看（这属于微分形式的内容），那么三维以上的向量叉积是不存在的；但是如果只是把叉积看成是“由两个向量生成第三个与其正交的向量”的工具的话，那么叉积也是可以高维推广的，而且推广的技巧非常巧妙，与三维空间的叉积也非常相似。

回顾三维空间

为了推广三维空间的叉积，首先回顾三维空间的叉积来源是有益的。叉积起源于四元数乘法，但是从目的性来讲，我们希望构造一个向量$\boldsymbol{w}=(w_1,w_2,w_3)$，使得它与已知的两个不共线的向量$\boldsymbol{u}=(u_1,u_2,u_3),\boldsymbol{v}=(v_1,v_2,v_3)$垂直（正交）。从普适性的角度来讲，我们还希望构造出来的向量没有任何“奇点”，为此，我们只用乘法构造。至于叉积的几何意义，则是后话，毕竟，先达到基本的目的再说。

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作为量子理论的一个重要定理，不确定性原理总是伴随着物理意义出现的，但是从数学的角度来讲，把不确定性原理的数学形式抽象出来，有助于我们发现更多领域的“不确定性原理”。

本文中，我们将谈及不确定性原理的n维矩阵形式。首先需要解释给大家的是，不确定性原理其实是关于“两个厄密算符与一个单位向量之间的一条不等式”。在量子力学中，厄密算符对应着无穷维的厄密矩阵；而所谓厄密矩阵，就是一个矩阵同时取共轭和转置之后，等于它自身。但是本文讨论一个更简单的情况，那就是n维实矩阵，n维实矩阵中的厄密矩阵就是我们所说的实对称矩阵了。

设$\boldsymbol{x}$是一个$n$维单位向量，即$|\boldsymbol{x}|=1$，而$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$是n阶实对称矩阵。在量子力学中，$\boldsymbol{x}$就是波函数，但是在这里，它只不过是一个单位实向量；并记$\boldsymbol{I}$是$n$阶单位阵。

考虑
$$\bar{A}=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x},\bar{B}=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}$$
从这些记号可以看出，这些量对应着可观测量的期望值。当然，如果不懂量子力学，可以只看上面的矩阵形式。

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