17
Nov
[欧拉数学]凸多面体的面、顶、棱公式
By 苏剑林 | 2011-11-17 | 46040位读者 | 引用
莱昂哈德·欧拉
作为数学史上最高产的数学家（似乎没有之一），欧拉的研究几乎涉及了所有数学领域，包括数论、图论、微积分等，同时他还是一个物理学家，他与拉格朗日首创的变分法使得经典力学的研究达到了一个新的高度。欧拉具有惊人的计算能力和数学直觉，这对他的数学研究帮助极大。现在在很多领域，我们都可以看到不少以欧拉命名的公式、定理。欧拉在数学上极为高产，而且得出了相当多的正确结论，但其中有相当多的结论只是来源于他的数学直觉（创造性思维）以及类比推理，这并非欧拉不追求严谨，而是由于当时数学知识的局限性，难以严密化。还有，研究的顺序是：先得出答案，然后才论证答案！
再者，创造性思维往往令人叫绝，能更加促进我们的思维能力。过多地考虑严格性和技术细节，通常都妨碍了我们得出正确的答案。正如《解题的艺术》中说道：粗略而有灵感的思想可能会引出严格证明；而有时，严格的证明会完全淡化论证的精髓。因此，我们不必在意欧拉证明的不严谨，反而，它是一次完美的视觉与思维享受。正因如此，一些绝妙、非严密、（在某种程度上）不正确的但同时得出了正确结果的数学论证，就被称为“欧拉数学”。事实上，任何人、任何研究都必须经过“欧拉数学”这一不严密的早期阶段。
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下面是一条关于凸多面体的面、顶、棱公式，它属于拓扑学的内容，我们称之为“欧拉公式”。（当然，公式是欧拉的，论证过程只是笔者粗糙地给出的）。
19
Nov
[欧拉数学]素数定理及加强
By 苏剑林 | 2011-11-19 | 45416位读者 | 引用1798年法国数学家勒让德提出：
$$\pi(n)\sim\frac{n}{\ln n}$$
这个式子被成为“素数定理”(the Prime Number Theorem, PNT)。它表达的是什么意思呢？其中$\pi(N)$指的是不大于N的素数个数，$\frac{N}{\ln N}$是一个计算结果，符号~叫做“渐近趋于”，整个式子意思就是“不大于N的素数个数渐近趋于$\frac{N}{\ln N}$”；简单来讲，就是说$\frac{N}{\ln N}$是$\pi(N)$的一个近似估计。也许有的读者会问为什么不用≈而用~呢？事实上，~包含的意思还有：
$$\lim_{N-\infty} \frac{\pi(N) \ln N}{N}=1$$
13
Jan
混沌的世界——“星之轨迹”的研究
By 苏剑林 | 2012-01-13 | 40214位读者 | 引用（本文已被刊登在2012年1月的《天文爱好者》上，于笔者而言这是一份很棒的新年礼物！）
在去年第七期《天爱》上，我们看到了N体问题所呈现出来的一些对称、漂亮的周期轨道，这体现了N体问题和谐有序的一面。但是这仅仅是N体问题的冰山一角，笔者也提到过N体问题的本质是混沌、无序的，通俗来讲就是非常乱，无法用数学方程来精确描述。这看起来是一种不完美。但试想，探索当初伽利略将望远镜对准月球后，看到的是如想象中光滑的月面，那么他还会惊叹宇宙的神奇吗？
本文就让我们来更深入地了解一下N体问题的研究历史。
观测&拟合时代
由于人类的自我优越感以及日月星辰东升西落的经验，让我们长期都认为地球是宇宙的中心。第一个比较系统提出地心说的人当属天文学家欧多克斯（Eudoxus，死于公元前347年左右），但他的地心说是非常粗糙的，以至于无法解释很多基本现象，如无法准确预言日食和解释行星逆行等。但亚里士多德接受了地心说，并且由于他在政治和科学上的权威，使地心说免去了夭折的命运。后来托勒密通过他的本轮，完善了地心说，使之延续到了16世纪。
10
Feb
今天出发，奔向自招考试...
By 苏剑林 | 2012-02-10 | 33586位读者 | 引用对于教育界来说，在二月自招是一个热门的话题。各个高效的自主招生考试都在二月如火如荼地开始了。前几天山东大学的考试以及复旦大学的“千分考”都已经进行了，明天“北约”和“华约”都将举行它们的自招笔试。BoJone作为去年夏令营营员的一份子，也有机会去参加北大的笔试。
由于明天八点就开始考试了，所以我得提前一天出发。已经看过前几年的题目和一些模拟题，我知道难度还是有的，心情也有些忐忑。毕竟这是一次“小高考”般的考试。但是情绪波动却不会很大。在过去的一两年里，我已经经历了许许多多（尤其是考试），偶尔有一些零碎的成功，但更多的是失败，于我而言，最重要的，是经验、体验。在人生的每一个驿站上，停留，赏景。
其实，真正快乐的不是成绩，而是用心投入到科学中，为自己取得一点点微不足道的成绩而高兴。
没有什么事情是不可挽救的，我欣赏刘欢的《从头再来》：心若在，梦就在，天地之间还有真爱；看成败，人生豪迈，只不过是从头再来...人生值得后悔的事情太多，也太少。
加油！
生日祝福
2012年3月28日，我19岁了。
三月是一个很美的月份，我的很多值得纪念的日子都在三月发生，还有好友们都在三月接二连三地生日，几乎让我措手不及了，呵呵。我的同桌黄金，好友家益，还有我自己都在这个月成为十九岁的孩子了。算起来，我应该是“最年轻”的了^_^
3-25-聚餐合照
我的生日收到了许多人的祝福，这让我觉得很意外，我一直觉得，我不善于人际交往，所以不应该会有太多人关注我，但惊喜在我身上发生了。谢谢大家。
人生如梦，繁星流动，和你同路，从不相识开始心接近，默默以真挚待人......这是《朋友》的歌词，也是我们之间的真实写照。感谢上天，让我的人生之路上有你们的相伴，人生因为你们而更加精彩。愿能够与你们一起度过、奋斗过更多的日子！我们相约，我们是一辈子的朋友！
12
Jun
费曼积分法——积分符号内取微分(2)
By 苏剑林 | 2012-06-12 | 97972位读者 | 引用上一篇文章我对“费曼积分法”做了一个简单的介绍，并通过举例来初步展示了它的操作步骤。但是，要了解一个方法，除了知道它能够干什么之外，还必须了解它的原理和方法，这样我们才能够更好地掌握它。因此，我们需要建立“积分符号内取微分”的一般理论，为进一步的应用奠基。
一般原理
我们记
$$G(a)=\int_{m(a)}^{n(a)} f(x,a)dx$$
在这里，f(x,a)是带有参数a的关于x的函数，而积分区间是关于参数a的两个函数，这样的积分也叫变限积分，可以理解为是普通定积分的推广。我们记F(x,a)为f(x,a)的原函数，也就是说$\frac{\partial F(x,a)}{\partial x}=f(x,a)$，那么按照微积分基本定理，我们就有：
$$G(a)=F(n(a),a)-F(m(a),a)$$
刚从天堂（镇）赶回来，这次大概一个星期的骑自行车游新兴之旅基本结束了。
这次行程我们总共穿越了太平、新城、洞口、车岗、六祖、东成、稔村、水台、勒竹、河头、天堂，共十一个镇，没有到过的地方还有共成、船岗、大江、里洞等，这些地方骑单车可能比较困难，有时间坐车去逛逛。
这次旅行可谓大有收获！各地的“到此一游”让我们增长了不少见识，加深了对我们家乡的了解；一路上大家嘻嘻哈哈，乐趣无穷，为我们的友谊增添了美好的点缀；到同学家玩玩闹闹，也加强了我们之间的联系，同样乐趣无穷；还有增加了探路找路的技术......
感谢所有陪我们一起玩、一起疯的同学，感谢所有给我们帮助的同学，人生因为你们的存在而更加精彩！
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