朋友们，来瓶汽水吧！有趣的换汽水问题

————怀念我曾经参加过的小学数学竞赛。

从一道小学竞赛题谈起 #

笔者小学五年级时参加了第一次数学竞赛，叫“育苗杯”，大多数题目都记不清楚了，唯一记得很清楚的是如下这道题目（不完全相同，意思类似）：

假设汽水一块钱一瓶，而且4个空瓶子可以换一瓶汽水喝。如果我有30块钱，我最多可以喝到多少瓶汽水？

当然，上面的情况可能太理想了，但是必须承认，类似的案例在生活中大量存在。比如买草龟吃时，草龟壳由于可以入药，所以有人回收龟壳，这也意味着若干个龟壳就可以换一只龟，等等。读者能不能很快就算出来呢？

当然，这道题并不困难，30块钱能买30瓶汽水，然后留下30个空瓶子，这30个空瓶子可以换来7瓶汽水，剩下2个空瓶子；喝完汽水后，剩下9个空瓶子，可以换来2瓶汽水，剩下1个空瓶子；喝完汽水后，剩下3个空瓶子。算算看，这时候我们已经喝了30+7+2=39瓶汽水了。（不考虑撑着啊，也可以分给别人喝^_^）整个过程如下表：
$$\begin{array}{c|cccc}
\hline
\text{空瓶子数} & 30 & 2+7 & 1+2 & ? \\
\hline
\text{已喝汽水数} & 30 & 7 & 2 & ? \\
\hline \end{array}$$

这是不是最终答案呢？似乎是，我们还剩3个空瓶子，换不了汽水了。然而，神奇的一招是——先去“赊”一瓶汽水来，喝完后就有4个空瓶子了，拿这4个空瓶子去抵债！所以正确答案是40瓶！巧妙吧？请不要考虑允不允许赊账的问题，这里的问题是“最多”，因此，至少理论上是可以的。这里考我们的就是除了计算，更多的还是创意！（笔者为什么还记得那么清楚？因为笔者当时很没创意地做错了~~）

喝完汽水了，我们可以从另外一个角度分析问题，首先可以这样考虑，4个空瓶子，换来1瓶汽水喝，喝完后就留下1个空瓶子，这也就意味着相当于3个空瓶子换来1瓶“纯汽水”（不带瓶），这样子的话，我们的30个空瓶子，可以换来10瓶“纯汽水”，所以立马就得到答案是30+10=40瓶汽水了
$$30+30\div (4-1)=40$$

再来一个角度，我们可以考虑空瓶子的价值，这个角度更容易推广。空瓶子可以换汽水，这表明空瓶子是有价值的。也就是说，一瓶汽水的单价1元，事实上包含了“纯汽水”的单价（$x$）和空瓶子的单价（$y$），即$x+y=1$；其次，4个空瓶子可以换一瓶汽水，这也意味着4个空瓶子的价值就是1元，即$4y=1$，那么可以算得$x=3/4$，就是说一瓶“纯汽水”的价格实际为$3/4$元！我们有30元，希望全部换成“纯汽水”（就是说我只管喝汽水，不要瓶子），那么就可以喝到$30\div (3/4)=40$瓶！

加强版的换汽水 #

上述问题还可以进一步推广：

假设汽水一块钱一瓶，而且4个空瓶子可以换一瓶汽水喝，或者8个盖子也可以换一瓶汽水喝。如果我有30块钱，我最多可以喝到多少瓶汽水？

现在一瓶汽水被分为三个部分了：纯汽水、空瓶子、盖子。问题复杂化了，要注意空瓶子、盖子都可以兑换汽水，并且兑换时又带来新的空瓶子和盖子，简直没完没了。我们先来按照最原始的思路算算，先换完瓶子、再换盖子，直到换完。单独换一样的时候，可以用我们上述的简化版问题的结果来算，即分别除以(4-1=3)和除以(8-1=7)：

$$\begin{array}{c|cccc}
\hline
\text{盖子数} & 30 & 30+10 & 5 & 5+1\\
\hline
\text{空瓶子数} & 30 & 0 & 0+5 & 2 \\
\hline
\text{已喝汽水数} & 30 & 10 & 5 & 1\\
\hline \end{array}$$

现在已经有46瓶了，剩下2个空瓶子，6个盖子，似乎不能再多了，因为再赊1瓶也换不了了。——慢着，赊1瓶不行，赊2瓶呢？赊2瓶，我们就得到4个空瓶子和8个盖子了，刚好拿去抵账！所以最终结果是48瓶。这里最后我们赊了两瓶，然后分别用空瓶子和盖子抵账！对，不要局限于不赊账，也不要局限于只能赊1瓶，只要你有足够的瓶和盖抵账，你可以多赊几瓶！

有什么直接的思路可以得到上面的结果呢？有！我们上述的价值思路就可以用上。设“纯汽水”、空瓶子、盖子的单价分别为$x,y,z$，那么可以列出
$$\left\{\begin{aligned}&x+y+z=1\\
&4y=1\\
&8z=1\end{aligned}\right.$$
求得$x=5/8$，也就是纯汽水的价格。所以我们最终可以喝到$30\div(5/8)=48$瓶纯汽水。

读者应该可以看出规律了吧，答案是
$$30\div\left(1-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\right)=48$$
如果不能整除，那就取整即可。显然，括号的式子是统一规律的。有没有更加直接的方法可以解释它呢？

反过来，从结果到过程 #

事实上，可以倒过来思考，得到更直接的思路。假设最终的结果是$W$瓶，那么我们自然期望，为了喝到这$W$瓶，我们已经“倾尽所有”——把所有瓶子和盖子都用光了。这也意味着，我们用空瓶子换来的汽水是$\frac{W}{4}$瓶，用盖子换来的汽水是$\frac{W}{8}$瓶，剩下的才是成本30瓶，所以有
$$W=\frac{W}{4}+\frac{W}{8}+30$$
即
$$W=30\div\left(1-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\right)=48$$

再比较一下 #

上面我们针对这个问题给出了几种思路，有直接的、间接的，有正面的、反面的，哪种思路最好呢？很难说，各人的看法不同。但是如果问哪种方法最实用（应用范围最广），那么似乎应该是“价值”思路最便于分析，即分析各个部分的单价应该是多少。比如下面的推广：

假设汽水一块钱一瓶，而且“3个空瓶子+2个盖子”可以换一瓶汽水喝，或者“2个空瓶子+4个盖子”也可以换一瓶汽水喝，单独空瓶子或盖子都不能换。如果我有30块钱，我最多可以喝到多少瓶汽水？

像这种混合型的换汽水，除了价值法外，似乎没有什么好办法了。最后的反过来想的思路，实际上也可以，但是列出来的方程，本质上跟价值法是一样的，而且并没有降低复杂度。（读者如果有好的思路，不妨留言提出。）

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