数学基本技艺之23、24（下）

在上一篇文章中我们得到了第23题的解，本来想接着类似地求第24题，但是看着23题的答案，又好像发现了一些新的东西，故没有继续写下去。等到今天在课堂上花了一节课研究了一下之后，得到了关于这种拟齐次微分方程的一些新的结果，遂另开一篇新文章，与大家分享。

一、特殊拟齐次微分方程的通解

在上一篇文章中，我们求出了拟齐次微分方程$\frac{dy}{dx}=x+\frac{x^3}{y}$的解：
$$(2y+x^2)(x^2-y)^2=C$$
或者写成这样的形式：
$$(y+\frac{1}{2} x^2)(y-x^2)^2=C$$

其中$y=-\frac{1}{2} x^2$和$y=x^2$是微分方程的两个特解。这个通解有明显的规律，于是我猜测，微分方程
$$\frac{dy}{dx}=Ax^m+\frac{B x^{2m+1}}{y}$$
有两个特解：$y=c_1 x^{m+1}$和$y=c_2 x^{m+1}$，而它的通解则可以写成
$$(y-c_1 x^{m+1})^{\alpha} (y-c_2 x^{m+1})^{\beta}=C$$
其中$c_1,c_2$是代数方程$(m+1)c^2=Ac+B$的两个根，$\alpha,\beta$是待定常数。

为了检验猜测的正确性，我们不去解这道微分方程，而是直接把猜测的解进行变换，看看满不满足原微分方程。将猜测的解两边求导，得到：
$$\begin{eqnarray*}\left\{ {\alpha \left[ {\frac{{dy}}{{dx}} - {c_1}(m + 1){x^m}} \right](y - {c_2}{x^{m + 1}}) + \beta \left[ {\frac{{dy}}{{dx}} - {c_2}(m + 1){x^m}} \right](y - {c_1}{x^{m + 1}})} \right\}\\ \times (y - c_1 x^{m + 1})^{\alpha - 1}(y - c_2 x^{m + 1})^{\beta - 1}=0\end{eqnarray*}$$

不失一般性，应有
$$ {\alpha \left[ {\frac{{dy}}{{dx}} - {c_1}(m + 1){x^m}} \right](y - {c_2}{x^{m + 1}}) + \beta \left[ {\frac{{dy}}{{dx}} - {c_2}(m + 1){x^m}} \right](y - {c_1}{x^{m + 1}})} =0$$

整理得到
$$\begin{eqnarray*}(\alpha+\beta)y\frac{dy}{dx}-(\alpha c_1 +\beta c_2)(m+1) x^m y-(\alpha c_2 +\beta c_1)x^{m+1} \frac{dy}{dx}\\ +(\alpha+\beta)c_1 c_2 (m+1) x^{2m+1}=0\end{eqnarray*}$$

对比原微分方程$y\frac{dy}{dx}=Ax^m y+B x^{2m+1}$，我们应该期望：
$$\frac{(\alpha c_1 +\beta c_2)(m+1)}{\alpha+\beta}=A,\alpha c_2 +\beta c_1=0,c_1 c_2 (m+1)=-B$$

因为$c_1,c_2$是$(m+1)c^2=Ac+B$的两个根，第三式是显然满足的，同时我们也有$A=(c_1 +c_2)(m+1)$，代入第一式整理得到$\alpha c_2 +\beta c_1=0$，此即第二式，所以这三条式子是自洽的。我们只要求出$\alpha,\beta$的一个解即可，由$\alpha c_2 +\beta c_1=0$可以得到$\alpha=k c_1 ,\beta=-k c_2$，因此原方程的通解是：
$$(y-c_1 x^{m+1})^{k c_1} (y-c_2 x^{m+1})^{-k c_2}=C$$

k是使得$k c_1,k c_2$形式更简单的非零常数。

二、随便吐槽

这篇文章的最初起源是《数学基本技艺100题》中的23、24题，由于数学上的敏感和执着，让我得到了最终这个还算比较漂亮的结果。从当初的特解，到昨天的变量代换求出通解，再到今天猜测并证明一般的规律，整个过程是充满着兴奋感的，也许就是这种兴奋感让我一直不懈地研究数学物理。

顺便吐槽一下课堂做笔记的说法。大学有这么一种说法，“不会逃课就是不会上课”，然而我基本上没有逃过什么课，不管是非专业的还是专业的课程；但同时我也基本上没有专心听过什么课，尤其是专业课，那我去上专业课的原因是既可以避免缺课而引起的各种问题，又可以在课堂上专心思考自己的问题，何乐而不为？所以我是不可能做什么笔记的，事实上我读了这么多年书，几乎没有做过笔记。今天的高等代数课上老师批评了我们班上不做笔记的不良风气，我不知道其他人怎么想，但是我不是很同意他的说法。做笔记既不是必要的，也不是充分的。我不做笔记并不是自认为天才，相反，我自认平凡，正因为平凡，如果我专心听讲，认真做笔记，根本不可能跟上老师的思维；或者说，即使跟上了，我也没有形成我的思维。这样子的东西，永远不属于我。

我还是非常赞同费曼说的那句话：What I can not create, I don't understand. 只有自己创造的东西，才算是我的东西。创造是自己头脑亲身经历了整个思考推理过程，明白“这是什么”、“为什么可以这样”、“为什么不能这样”、“错误的做法最远能够做到哪里”等等各种问题。因此，我只能低下头来，慢慢思考，步伐很慢，有时会落后很多，但是，当我成功得到一个想法时，我就解决了很多问题。关键是，那个想法属于我，那个思维属于我的。并不是老师教的东西不好，而是我太平庸，跟不上老师。

万变不离其宗，比如说几何，原则上说，欧几里得几何只有五条公理，从这些公理出发，加上一定的推论思维，可以得到所有欧几里得几何的结论。当然，我们也不是每个问题都是从最底层出发，我们还学会了各种推论、定理来辅助我们。但是更重要的，还是思考、推理，这是任何语言都难以准确描述的，只有亲自去体会。因此，笔记上记录的东西也还只是“鱼”，真正的“渔”，是深入思考。而且有一点危险的事情，那就是不少人做了笔记会觉得心安，但是事实上他们从来不理解做了什么，只有在接近考试的时候，才会拿出来翻翻。这样的笔记，也失去了最初的意义。

笔记是用来临时的备忘的，一旦弄懂了，达到了You have created it的时候，笔记就可以扔掉了。我不一定能够做到我所说的所有东西，但我会努力。

总有人说好记性不如烂笔头，但是我想问问你：你想要好记性还是要烂笔头？

随便乱吐，欢迎批评。

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