《向量》系列——5.平面向量微分方程与复数

首先我们考虑一个复微分方程
$$\dot{z}=f(z,t)\tag{1}$$如果令$z=x+yi,f(z,t)=f(x+yi,t)=g(x,y,t)+i*h(x,y,t)$，则方程对应于
$$\begin{aligned}\dot{x}=g(x,y,t) \\ \dot{y}=h(x,y,t)\end{aligned}$$
这说明，二元微分方程在一定程度上等价于复微分方程。

我们可以先看一个例子，解方程组
$\dot{x}=x^2-y^2,\dot{y}=2xy$，初始值是$t=0,x=1,y=1$。

如果令$z=x+yi$，则方程事实上等价于$\dot{z}=z^2$，初始条件$t=0,z=1+i$。于是利用解一元微分方程的方法求得
$z=-\frac{1}{t+C}$，并且根据初始条件得到$C=1/2 (i-1)$，即

$$x+yi=z=-\frac{1}{t+1/2 (i-1)}=\frac{1/2-t}{(1/2-t)^2+(1/2)^2}+\frac{1/2 i}{(1/2-t)^2+(1/2)^2}$$

根据复数相等的原则，得到：
$$\begin{aligned}x=\frac{1/2-t}{(1/2-t)^2+(1/2)^2} \\ y=\frac{1/2}{(1/2-t)^2+(1/2)^2}\end{aligned}$$

可见，方法是很快捷的，这是一条把不熟悉变为熟悉的重要途径。将二元实微分方程转化为一元复微分方程的一个明显好处是消元，与其说这是不同形式的转换，倒不如说这是一种“消元法”。另外我们曾经讨论过复数与二维向量的等价性。因而，关于二维向量的微分方程，均可以将向量视为“数”（复数）来解答（只要向量方程中不涉及到“模”）。而解复微分方程在很大程序上和实微分方程相同。而我们在实际问题中提出的方程（特别是物理力学方面）有不少是理想的二维向量方程，既然向量等价于复数，用复微分方程的形式来解答，快捷方便，何乐而不为？

下面是运动学的一个实际应用：

一炮弹从地面以$v_0$速度、与地面成θ角射出，空气阻力是速度的q倍（q是常数），求炮弹的运动轨迹。

记炮弹质量为m，初速度为$\vec{v}_0$，重力加速度为$\vec{g}$，运动轨迹为$\vec{r}$，可以列得
$\ddot{\vec{r}}=-\frac{q}{m}\dot{\vec{r}}+\vec{g}$，令$-\frac{q}{m}=k$，则
$$\ddot{\vec{r}}=k\dot{\vec{r}}+\vec{g}$$
积分一次，并代入初始条件，得到
$$\dot{r}=k\vec{r}+\vec{g}t+\vec{v}_0$$
既然向量等价于复数，那么用将向量看成复函数，上式就是一个一阶微分方程，利用解一阶微分方程的知识得
$$\vec{r}=(\frac{\vec{g}}{k^2}+\frac{\vec{v}_0}{k})(e^{kt}-1)-\frac{\vec{g}t}{k}$$

设$\vec{r}=x+yi,\vec{g}=-gi,\vec{v}_0=v_0 cos\theta+i*v_0 sin\theta$（等价于将向量正交分解了），代入上式，根据复数相等的条件，得到
$$\begin{aligned}x=(\frac{v_0 \cos\theta}{k})(e^{kt}-1) \\ y=(\frac{v_0 \sin\theta}{k}-\frac{g}{k^2})(e^{kt}-1)+\frac{g t}{k} \\ k=q/m\end{aligned}$$

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