20 Mar

《方程与宇宙》:二体问题的来来去去(一)

二体问题的轨道模拟

二体问题的轨道模拟

为了让大家能够查询到“天体力学”方面的内容,同时锻炼我的表达和计算能力,BoJone构思了《方程与宇宙》这个主题,主要是写一些关于使用数学相对深入地讨论一些天文问题。其实我一直觉得,不用公式是无法完美地描述科学的(当然也不能纯公式),我记得霍金的《时间简史》以及《果壳中的宇宙》等之类的书,都力求不用或者尽可能少用数学公式来表达自己的观点。这种模式对于对于公众来说是很好的,但是对于希望深入研究的朋友来说却难以进行。所以我主张:宇宙是算出来的!

这个主题每一个字都是由BoJone敲击出来的,其中包括引用了《天体力学引论》里面的一些内容,以及加入了BoJone个人的一些见解。由于篇幅长及时间有限问题,BoJone打算分若干次撰写发布,并且尽可能写得通俗一点,力求让有一点微积分基础的朋友就可以弄懂。这里首先发布第一部分。由于时间匆忙等原因,可能会出现一些疏忽,欢迎大家挑错!

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6 Mar

(原创)切抛物线法解方程

牛顿法使用的是函数切线的方程的零点来逼近原函数的零点,他所使用的是“切直线”,要是改为同曲率的“切抛物线”,则有更稳定的收敛效果以及更快的收敛速度

设函数$y=f(x)$在$(x_0,y_0)$处有一条“切抛物线”$y=ax^2+bx+c$,则应该有

$a(x_0+\Delta x)^2+b(x_0+\Delta x)+c=f(x_0+\Delta x)$-------(A)
$ax_0^2+bx_0+c=f(x_0)$-------(B)
$a(x_0-\Delta x)^2+b(x_0-\Delta x)+c=f(x_0-\Delta x)$-------(C)

其中$lim_{\Delta x->0}$

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27 Feb

“n次方程有n个根”的证明

代数基本定理:任何一个一元复系数多项式都至少有一个复数根。也就是说,复数域是代数封闭的。

虽说这有其名,但却无其实,它并不是最基本的代数定理;因为在那个时候,代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程,所以才被命名为代数基本定理(Fundamental theorem of algebra)。

建立在此前提上,我们可以推出:

一元复系数n次代数方程在复数范围内都有n个根(有可能是共轨复根)。

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13 Feb

MathPlayer 2.2发布,大家升级啦!

如果你已经安装了MathPlayer,就这里检查一下你的版本是否最新版:
http://www.dessci.com/en/products/mathplayer/check.htm

如果你还没有安装,欢迎你点击下面的链接下载安装:
http://www.dessci.com/en/products/mathplayer/download.htm

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9 Feb

函数图像旋转公式(“想当然”的教训)

阅读小提示:亲爱的读者,你可以选择不读这篇文章,但如果你选择了阅读,请一定要阅读完。BoJone对“半途而废”所造成的后果一概不负责任^_^。

函数图像旋转

函数图像旋转

我们来考虑下一个旋转问题:将某一函数图像y=f(x),绕点(p,q)逆时针旋转了θ角之后,得到的图象的解析式。

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6 Feb

直上云霄的无穷指数方程

昨天在浏览网页的时候,发现了一道有趣的方程:
$$x^{x^{x^{\dots}}}=2$$
各位读者先别急着往下看,不妨自己求解一下?

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4 Feb

400多本数学电子书籍(供下载)

转自:http://bbs.emath.ac.cn/redirect.php?tid=1989

来源:http://cid-ec227156e4cad4ab.profile.live.com/

不论是对于学习高等数学还是初中数学,里面都有不少数学精品。BoJone一发现,便用Thunder下了一大堆(正好满足了我加强“数学分析”的需要),并立即与大家分享了。资源储存在微软的网盘,按常理来说不存在链接失效的问题,不过BoJone建议需要的读者还是尽快下载到自己的电脑上,毕竟这样更加保险,因为或许哪一天作者不愿意共享了,那就“走宝”了,呵呵。

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9 Jan

精确自由落体运动定律的讨论(二)

跳伞过程中的自由落体阶段.jpg

之前在这篇文章中,我们使用过一个牛顿引力场中的自由落体公式:
$t=\sqrt{\frac{r_0}{2GM}}{r_0 \cdot arctg \sqrt{\frac{r_0 -r}{r}}+\sqrt{r(r_0 -r)}}$——(1)

我们来尝试一下推导出这个公式来。同时,站长在逐渐深入研究的过程中,发现微分方程极其重要。以前一些我认为不可能解决的问题,都用微分方程逐渐解决了。在以后的文章里,我们将会继续体验到微分方程的伟大魔力!因此,建议各位有志研究物理学的朋友,一定要掌握微分方程,更加深入的,需要用到偏微分方程!

首先,质量为m的物理在距离地心r处的引力为$\frac{GMm}{r^2}$,根据牛顿第二定律F=ma,自然下落的物体所获得的加速度为$\frac{GM}{r^2}$。假设物体从距离地心r开始向地心自由下落,求位移s关于t的函数s=s(t).

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