向量

向量

向量，又称矢量，定义为线性空间中需要大小和方向才能完整表示的一个量。而对于我们来说，还是使用最简单的概念比较合适：向量就是“有向线段”。向量这一概念，来源于物理，而又不仅仅应用于物理。向量的出现，使得几何学和物理学的发展又多了一个强有力的工具，记得有一句这样的话：“对数的出现，延长了天文学家的寿命。”而我可以毫不夸张地说，向量的发展，也在不断地延长着数学家和物理学家的寿命！

为什么向量有这么大的威力？其实，在我们学习数学的时候，我们总会自觉或者不自觉地倾向于只有计算的代数，往往会对需要“画图”的几何产生一点点“排斥感”，久而久之，我们更愿意接触的是代数而不是几何。因为我们认为，代数是定性地计算，而几何需要抽象的思维和想象能力。正是因为如此，向量被赋予了生命力。我们喜欢计算，我们就把几何的变为计算的；我们不仅仅要算代数，而且要“算几何”！

几何要怎么才能化为可“算”的问题？解析几何为了这个目的而诞生的。它把所有的几何问题放到了坐标系中，并将某些数学等式（比如两直线的斜率相等）与某些几何关系（比如说两直线平行）等价起来，这样我们这样通过计算证明了这个数学等式，也就证明了几何关系。

笛卡尔

笛卡尔

当时笛卡尔站在方法论的自然哲学的高度，认为希腊人的几何学过于依赖于图形，束缚了人的想象力。对于当时流行的代数学，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学”。笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种思想他创立了我们现在称之为的“解析几何学”。

然而这种坐标系的方法毕竟有一定局限（但是威力十分大），它仅仅表达了“数量”，没有表达方向，也就是说，必须通过两个数据才能够确定一个量。而物理的东西大多数都带有了一个“方向”（比如力、速度、加速度），也不仅仅是物理，就连数学，某些数学的量，连同方向考虑，会变得简单很多。向量基于一些定义性的运算（这些运算在物理学上都可以找到对应的意义），并通过分析的方法，来得出令人惊讶的结果！

我常常对周围的同学说：“向量是给空间思维能力不好的人用的，我这么笨，所以一定要把向量学精。”这句话带有一定的玩笑之意，然后所说的能够反映一个事实：使用向量，能够减少对几何的抽象思考，从而加快我们研究的步伐，这也就是延长寿命的原因！因此，我们可以说，“代数学家不一定精通几何；但是几何学家一定精通代数——因为他们精通向量！”

以上是我刚开始接触向量的一点点感触。至于向量的作用的例子，则不在本文章之内。在以后的文章中，我会多写一些关于使用向量来解决几何、物理、天文问题的实例，让大家更加深刻地体验到向量的威力。

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苏剑林. (Jun. 27, 2010). 《威力巨大的“有向线段” 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/689

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        author={苏剑林},
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